Determinante

Uma matriz 2 × 2 A = (a b; c d) é uma aplicação linear do plano. Leva î e ĵ às suas colunas a₁ = (a, c) e a₂ = (b, d), pelo que o quadrado unitário se torna o paralelogramo de lados a₁ e a₂. O determinante de A é a área com sinal desse paralelogramo.

A figura mostra o plano antes e depois de A: a grelha padrão em linhas ténues a tracejado, a grelha produzida por A a traço escuro e a imagem do quadrado unitário como um paralelogramo amarelo. O pequeno arco amarelo junto à origem vai de a₁ para a₂ pelo caminho mais curto. A bandeira acompanha a transformação: a tracejado onde estava e a traço contínuo onde A a coloca.

O determinante não se aplica apenas ao quadrado unitário. Cada quadrado da grelha torna-se uma cópia do mesmo paralelogramo, pelo que uma região formada por quadrados da grelha tem a sua área multiplicada por |det A|. Uma grelha mais fina funciona da mesma forma. Os seus pequenos quadrados permitem aproximar cada vez melhor formas como um disco, pelo que as suas áreas também são multiplicadas por |det A|. Com Círculo selecionado, o disco unitário de área π torna-se uma elipse de área |det A|·π, ou um segmento ou um ponto quando det A = 0.

O sinal indica se a orientação do plano é invertida. Se a rotação mais curta de a₁ para a₂ for no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, como de î para ĵ, A preserva a orientação do plano e det A > 0. Se for no sentido dos ponteiros do relógio, A inverte a orientação do plano: a bandeira fica virada para o outro lado, o preenchimento amarelo passa a ser hachurado e det A < 0. O determinante varia continuamente com as entradas da matriz, pelo que não pode saltar de positivo para negativo. Arraste a₂ para o outro lado da reta de a₁: o paralelogramo primeiro achata-se num segmento, onde det A = 0, e só depois inverte a orientação.

Quando det A = 0, as colunas estão numa mesma reta e A achata todo o plano nessa reta, ou apenas no ponto O se A for a matriz nula. Pontos distintos passam então a ocupar o mesmo lugar; nada pode desfazer isso e, por essa razão, A não tem inversa.

Porquê ad − bc? Ative Construção por cisalhamento e faça deslizar. Um cisalhamento faz deslizar um lado do paralelogramo ao longo da reta do outro. A base e a altura mantêm-se, e a área também. Quando det A ≠ 0 e |a| é maior ou igual a |c|, faz-se primeiro deslizar a₂ na direção de a₁ até ficar na vertical em (0, h), com h = d − bc/a. Depois faz-se deslizar a₁ na direção desse lado vertical até ao eixo x, em (a, 0). O resultado é um retângulo de lados |a| e |h|, cuja área com sinal é a·h = ad − bc. Quando |c| é maior do que |a|, a página constrói o retângulo no outro sentido, com a mesma área com sinal. Se det A = 0, o paralelogramo está achatado e não é possível construir um retângulo.

Somar a uma coluna um múltiplo da outra é precisamente um cisalhamento deste tipo, pelo que nunca altera o determinante.