Determinant: Etkileşimli görselleştirme

Bu görselleştirmede determinant

2 × 2 boyutlu A = (a b; c d) matrisi, düzlemin bir doğrusal dönüşümüdür. î ve ĵ'yi a₁ = (a, c) ve a₂ = (b, d) sütunlarına götürür; böylece birim kare, kenarları a₁ ve a₂ olan paralelkenara dönüşür. A'nın determinantı, bu paralelkenarın işaretli alanıdır.

Formül ve sayfanın başlangıç ayarı

\begin{gathered} \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \\[0.6ex] \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 2\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 3 \end{gathered}

Şekil, düzlemi A'dan önce ve sonra gösterir: standart ızgara soluk kesikli çizgilerle, A'nın ondan oluşturduğu ızgara koyu çizgilerle, birim karenin görüntüsü ise sarı bir paralelkenarla gösterilir. Orijin yakınındaki küçük sarı yay, a₁'den a₂'ye kısa yönden döner. Bayrak dönüşümle taşınır; eski konumu kesikli, A'nın götürdüğü konum düz çizgilerle gösterilir.

Determinant yalnızca birim kareyle ilgili değildir. Izgaranın her karesi aynı paralelkenarın bir kopyasına dönüşür; bu nedenle ızgara karelerinden oluşan bir bölgenin alanı |det A| ile çarpılır. Daha sık bir ızgarada da durum aynıdır. Disk gibi şekiller, küçülen karelerle giderek daha iyi doldurulabilir; dolayısıyla onların alanları da |det A| ile çarpılır. Çember seçildiğinde alanı π olan birim disk, alanı |det A|·π olan bir elipse; det A = 0 ise bir doğru parçasına veya noktaya dönüşür.

Her alan aynı sayıyla çarpılır

\operatorname{alan}\bigl(A(S)\bigr) = \lvert \det A \rvert \cdot \operatorname{alan}(S)

İşaret, düzlemin yöneliminin tersine dönüp dönmediğini söyler. a₁'den a₂'ye kısa yönden dönüş, î'den ĵ'ye olduğu gibi saat yönünün tersineyse A yönelimi korur ve det A > 0 olur. Saat yönündeyse A yönelimi tersine çevirir: bayrak ters yöne bakar, sarı dolgu yerini taramaya bırakır ve det A < 0 olur. Determinant, matris elemanlarıyla sürekli değişir; pozitiften negatife atlayamaz. a₂'yi a₁'den geçen doğrunun ötesine sürükleyin: paralelkenar önce det A = 0 olan bir doğru parçasına iner, ancak bundan sonra yönelimi tersine döner.

det A = 0 olduğunda sütunlar aynı doğru üzerindedir; A düzlemin tamamını bu doğruya, sıfır matrisi ise tek bir O noktasına indirger. Farklı noktalar aynı yere gider ve bu geri alınamaz; dolayısıyla A'nın tersi yoktur.

Neden ad − bc? Kaymayla oluştur seçeneğini açıp itin. Kayma, paralelkenarın bir kenarını diğer kenarın doğrusu boyunca kaydırır. Taban ve yükseklik, dolayısıyla alan değişmez. det A ≠ 0 ve |a| ≥ |c| olduğunda önce a₂, a₁ boyunca itilerek (0, h) konumunda dik duruma getirilir; burada h = d − bc/a. Sonra a₁, bu dik kenar boyunca itilip x ekseninde (a, 0) konumuna getirilir. Ortaya çıkan dikdörtgenin kenarları |a| ve |h|, işaretli alanı a·h = ad − bc'dir. |c|, |a|'dan büyükse sayfa dikdörtgeni diğer yönden kurar; işaretli alan yine aynıdır. det A = 0 ise paralelkenar düzdür ve dikdörtgen kurulamaz.

İki kayma, paralelkenarı aynı alanlı bir dikdörtgene dönüştürür

\begin{gathered} a_2 \to a_2 - \tfrac{b}{a}\,a_1 = (0,\ h), \quad h = d - \tfrac{bc}{a} \\[0.6ex] a\cdot h = a\Bigl(d - \tfrac{bc}{a}\Bigr) = ad - bc \end{gathered}

Bir sütunun katını diğerine eklemek tam da böyle bir kaymadır; bu yüzden determinantı değiştirmez.

Dikkat edilecekler

Kaymayla oluştur açıkken A değişmez. İtilen kopya sarıdır; A'nın kendi paralelkenarı soluk kesikli bir çerçeve olarak yerinde kalır.
det A = 0 ama A sıfır değilken düz çizgi, düzlemin tamamının gittiği doğruyu; kesikli çizgi ise O'ya giden noktaları gösterir. A = (1 −1; 1 −1) örneğinde olduğu gibi bunlar aynı doğru olabilir.

İlgili kavramlar

Ek okumalar: Vikipedi: Determinant (İngilizce); OpenStax, College Algebra 2e, 7.8 Solving Systems with Cramer’s Rule (İngilizce).