Vektörel çarpım

Uzaydaki a ve b vektörlerinin vektörel çarpımı, a × b vektörüdür. Uzunluğu, oluşturdukları paralelkenarın alanıdır; sıfırdan farklı vektörlerde bu alan $|a|\,|b|\sin\theta$ olur ve θ aralarındaki açıdır. Alan 0 değilse a × b her ikisine de diktir; sağ elin parmakları a yönünden b yönüne kıvrıldığında başparmağın gösterdiği yönü izler. Burada a ve b vektörlerini bir odada döndürüp paralelkenarın duvarlardaki gölgelerini görebilirsiniz. Bu gölgelerin işaretli alanları, a × b vektörünün üç bileşenini verir.

Paralelkenarı dik olarak zemine yansıtın. Gölgesi $(a_1, a_2)$ ve $(b_1, b_2)$ vektörlerinin oluşturduğu paralelkenardır. İşaretli alanı, üçüncü bileşen olan 2 × 2 determinant $a_1 b_2 - a_2 b_1$ değeridir. Yukarıdan bakıldığında a vektörünün gölgesinden b vektörünün gölgesine dönüş saat yönünün tersiyse işaret + olur. İki duvar da aynı şekilde çalışır; her birine kendi ekseninin gösterdiği taraftan bakılır. yz duvarındaki gölge birinci, zx duvarındaki gölge ikinci bileşeni verir. Alanı negatif olan gölge saat yönünde dolaşılır ve sayfada taralı gösterilir.

Gölgeler neden paralelkenara dik bir vektör oluşturur? Alanı sıfır olmayan bir paralelkenar alın. Alanına A, sağ el kuralının seçtiği tarafa yönelen dik birim vektöre n diyelim. Birim normal vektörü m olan bir duvardan bakıldığında paralelkenar yalnızca tek yönde, $|n\cdot m|$ çarpanıyla sıkışır. Bu duvardaki gölgesinin işaretli alanı böylece $A\,(n\cdot m)$ olur. Tek duvardaki gölge bu görünümü güncel sayılarla çizer. Üç duvarın normalleri üç eksen yönündedir; dolayısıyla üç gölge birlikte şu vektörü verir:

Bu, n yönünde ve uzunluğu A olan bir vektördür. Koordinat formülü ile geometrik açıklama aynı şeyi söyler.

Sırayı değiştirmek her gölgeyi ters yönde dolaştırır; dolayısıyla b × a = −(a × b) olur. Vektörel çarpım değişmeli değildir. a ve b paralelse veya biri sıfırsa paralelkenar bir doğru parçasına ya da noktaya çöker. Her gölgenin alanı 0 ve a × b = 0 olur. Alan 0 değilken Karşıdan doğrudan a × b doğrultusunda bakar ve paralelkenar gerçek şeklini gösterir. Kenardan ise paralelkenarın düzlemi boyunca bakar; paralelkenar a × b vektörüne dik bir çizgiye dönüşür.

Sağ el, odanın sağ elli koordinat sistemiyle uyumlu bir uzlaşıdır. Bu sistemde +z tarafından bakıldığında x yönünden y yönüne dönüş saat yönünün tersinedir.