المتجه الذاتي: تصور تفاعلي

المتجهات الذاتية في هذا التصور

المصفوفة ⁦2 × 2⁩ هي تحويل خطي للمستوى، وقد تُخرج متجهًا عن مستقيمه. المتجه الذاتي هو الذي يبقى على مستقيمه: ⁦Av = λv⁩، حيث تحدد القيمة الذاتية ⁦λ⁩ مقدار تمديد ⁦v⁩ أو تقليصه أو عكس اتجاهه. كل مضاعف غير صفري لمتجه ذاتي هو أيضًا متجه ذاتي بالقيمة ⁦λ⁩ نفسها، لذا فالمهم هو المستقيم.

التعريف والمصفوفة الافتراضية للصفحة

\begin{gathered} Av = \lambda v, \quad v \neq 0 \\[0.6ex] \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = 4\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{gathered}

يتتبع الرسم جميع الاتجاهات معًا. الدائرة المتقطعة هي دائرة الوحدة، والقطع الناقص صورتها تحت تأثير ⁦A⁩، وكل إبرة قصيرة على الدائرة تشير إلى حيث ينقل ⁦A⁩ تلك النقطة. مع المصفوفة الافتراضية، أدر المتجه الأحمر ⁦v⁩ وراقب السهم الأصفر ⁦Av⁩: يميل إلى أحد جانبي مستقيم ⁦v⁩ ثم إلى الآخر. لا يقع ⁦Av⁩ على امتداد ⁦v⁩ إلا على المستقيمات الزرقاء. تلك هي المستقيمات الذاتية، وقد كُتبت قيمة ⁦λ⁩ بجوار كل منها.

لماذا تكون القيم الذاتية جذور ⁦det(A − λI)⁩؟ أعد كتابة ⁦Av = λv⁩ على الصورة ⁦(A − λI)v = 0⁩. لا يحقق ذلك متجه غير صفري ⁦v⁩ إلا إذا ضغط ⁦A − λI⁩ المستوى وأرسل مستقيمًا كاملًا إلى الأصل، وهذا يحدث إذا وفقط إذا كان محدّده 0. ترسم نافذة ⁦A − λI⁩ الدالة ⁦p(λ) = det(A − λI)⁩ كمنحنى. اسحب ⁦λ⁩ إلى جذر، فتنهار صورة مربع الوحدة إلى قطعة مستقيمة، أو إلى الأصل إذا كانت ⁦A = λI⁩. المتجهات غير الصفرية التي تنتقل إلى الأصل هي المتجهات الذاتية لتلك القيمة ⁦λ⁩.

كثير الحدود المميّز: جذوره هي القيم الذاتية

\begin{gathered} p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) \\[0.6ex] \lambda^2 - 5\lambda + 4 = (\lambda - 4)(\lambda - 1) \end{gathered}

يشكّل متجهان ذاتيان مستقلان ⁦e₁⁩ و⁦e₂⁩ أساسًا لا تفعل فيه ⁦A⁩ سوى ضرب المركبتين: في ⁦λ₁⁩ باتجاه ⁦e₁⁩، وفي ⁦λ₂⁩ باتجاه ⁦e₂⁩، فتكون مصفوفتها في هذه الإحداثيات قطرية. يرسم خيار أساس ذاتي خلية من هذا الأساس وصورتها، مع تسميات الأركان بإحداثيات ⁦e₁⁩ و⁦e₂⁩، لا ⁦x⁩ و⁦y⁩. ليس لكل مصفوفة أساس كهذا. ⁦p(λ)⁩ كثير حدود تربيعي، وقد لا يكون له جذر حقيقي، كما في دوران ⁦90°⁩ الذي يغيّر كل اتجاه. وقد يكون له جذر مضاعف، كما في قصّ يحفظ مستقيمًا واحدًا فقط.

يطبّق خيار تطبيق متكرر المصفوفة ⁦A⁩ على ⁦v⁩ مرارًا، ويعلّم اتجاهات ⁦v, Av, A²v⁩ وما يليها. عندما تكون القيم الذاتية حقيقية ومختلفة بالقيمة المطلقة، تضرب كل خطوة مركبتي ⁦v⁩ في الاتجاهين الذاتيين في قيمتيهما الذاتيتين، فتغلب المركبة ذات القيمة الذاتية الأكبر بالقيمة المطلقة. تقترب الاتجاهات من مستقيمها، إلا إذا بدأ ⁦v⁩ على المستقيم الآخر. بهذه الطريقة تجد طريقة القوى متجهًا ذاتيًا. في تبديل، حيث القيمتان الذاتيتان 1 و⁦−1⁩، يتنقل متجه خارج المستقيمين بين اتجاهين إلى الأبد.

ما يجدر ملاحظته

الإسقاط ⁦v·Av⁩ في القراءة لا يكفي وحده لمعرفة ما إذا كان ⁦v⁩ متجهًا ذاتيًا. لا يكون ⁦Av⁩ مضاعفًا لـ⁦v⁩ إلا على مستقيم ذاتي، وهناك فقط تكتب الصفحة ⁦Av = λv⁩.
تقع نقاط التكرار على الدائرة لأن المرسوم هو الاتجاهات فقط. قد تطول المتجهات نفسها أو تقصر، ويعرض سطر الحالة عامل تغيّر الطول في كل خطوة.
عندما تكون ⁦λ⁩ جذرًا و⁦A ≠ λI⁩، يكون المستقيم الأصفر المتقطع هو صورة المستوى تحت تأثير ⁦A − λI⁩. أما المستقيم الذاتي الخاص بـ⁦λ⁩، الذي ينتقل إلى الأصل، فهو الأزرق الأثخن. عند الجذر المضاعف قد يكونان المستقيم نفسه.

التحكم

عندما يتطابق ⁦v⁩ مع رأس عمود، تختار الضغطة ⁦v⁩. انقر مرة دون سحب، فتختار الضغطة التالية الآخر.
في نافذة ⁦A − λI⁩، اضغط في أي موضع على المحور لتنقل ⁦λ⁩ إليه. تستقر ⁦λ⁩ عند الجذور والأعداد الصحيحة.

مفاهيم ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Eigenvalues and eigenvectors (الإنجليزية).