مخطط الطور

يمثّل مخطط الطور حلول نظام من المعادلات التفاضلية بمنحنيات في مستوى متغيراته، يمرّ أحدها بكل نقطة بداية. تعرض هذه الصفحة النظام الخطي $x' = Ax$ لمصفوفة $A$ من الرتبة $2 \times 2$. بتحريك النقطة $(\tau, \Delta)$ على خريطة الأثر والمحدّد يتنقل الرسم بين السروج والعقد والبؤر والمراكز، ويُظهر مستوى القيم الذاتية المجاور القيمتين اللتين تحدّدان كل رسم.

يتبع كل منحنى حقل الاتجاهات. أسهمه متساوية الطول، لذا فهي تبيّن الاتجاه فقط. أما السرعة فتظهر في العلامات الموضوعة بفواصل زمنية متساوية، إذ تتقارب حيث تكون الحركة بطيئة. بعض الحلول تسير على مستقيم يمرّ بالأصل. إذا كان $Av = \lambda v$، فإن $x(t) = e^{\lambda t} v$ حل، لأن مشتقته $\lambda e^{\lambda t} v$ تساوي تمامًا نتيجة تطبيق $A$ عليه. إذن هذه المستقيمات هي الاتجاهات الذاتية للمصفوفة $A$، ويمثّل $\lambda$ معدل التغير على كل منها: تكون الحركة نحو الخارج عندما $\lambda > 0$، ونحو الداخل عندما $\lambda < 0$، وتنعدم عندما $\lambda = 0$.

تحقق القيم الذاتية المعادلة $\lambda^2 - \tau\lambda + \Delta = 0$، ولذلك فإن $\tau$ هو مجموعهما، و$\Delta$ حاصل ضربهما، و$\tau^2 - 4\Delta$ هو المميّز. كل حدّ على الخريطة يقابل حدثًا في مستوى القيم الذاتية. أسفل $\Delta = 0$ تكون القيمتان مختلفتَي الإشارة ويظهر سرج. وعلى هذا الخط تكون إحداهما 0، فيبقى مستقيم كامل من النقاط ساكنًا. على القطع المكافئ $\tau^2 = 4\Delta$ تلتقي القيمتان الذاتيتان، وأعلاه تصبحان زوجًا مركّبًا. عندما $\Delta > 0$، تفصل إشارة $\tau$ بين الاضمحلال والنمو، وعلى $\tau = 0$ يقع الزوج على المحور التخيلي. وهكذا يحدّد $\tau$ و$\Delta$ القيمتين الذاتيتين ونوع الرسم، باستثناء حالة القيمة الذاتية المكررة. عندئذ يعتمد النوع أيضًا على ما إذا كانت $A$ مضاعفًا عدديًا لمصفوفة الوحدة.

عندما تكون القيمتان الذاتيتان المركّبتان $\alpha \pm \beta i$ مع $\beta > 0$، يدور كل حل غير صفري حول الأصل مرة واحدة في الزمن $2\pi/\beta$، وخلاله يتغير حجمه بمعامل $e^{2\pi\alpha/\beta}$. لذلك تقع العلامات التي تفصل بينها دورة واحدة على شعاع واحد من الأصل، ويربط كل علامتين متتاليتين معامل التحجيم نفسه. عندما $\alpha = 0$، يكون المعامل 1 وينغلق كل مدار غير صفري ليشكّل قطعًا ناقصًا: إنه مركز. مع $\Delta = 1$ و$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \tau \end{pmatrix}$، يكون النظام هو المهتز المخمّد $x'' + 2\zeta x' + x = 0$ حيث $\zeta = -\tau/2$.

عند عبور القطع المكافئ، ينطبق المستقيمان أحدهما على الآخر كمقصّ يُغلق، ثم يختفيان حين يصبح الرسم لولبيًا. بعيدًا عن الرأس، لا يكون للمصفوفة النموذجية على القطع المكافئ سوى هذا المستقيم الواحد. وكل حل آخر يدخل الأصل أو يخرج منه مماسًا له. عند $(\tau, \Delta) = (-2, 1)$، تكون للمصفوفة $-I$ القيم الذاتية نفسها، لكن يوجد فيها حل مستقيم في كل اتجاه. تغيير الأساس، $A \mapsto PAP^{-1}$، يغيّر شكل الرسم ويحافظ على $\tau$ و$\Delta$ والقيم الذاتية والنوع. أما المضاعف العددي لمصفوفة الوحدة فيبقى كما هو.