معادلات لوتكا–فولتيرا

هنا $x$ عدد الفرائس و$y$ عدد المفترسات، وكلاهما بالآلاف. يتغير كل عدد بمعدل لكل فرد: تنمو الفرائس بمعدل $\alpha$ وتُؤكل بمعدل يتناسب مع عدد المفترسات، وتموت المفترسات بمعدل $\gamma$ وتنمو بمعدل يتناسب مع عدد الفرائس. يتتبّع مستوى الطور النقطة $(x, y)$ من البداية التي تختارها، ويعرض الرسم الزمني أسفله العددين سنة بعد سنة.

معدل الفرائس $\alpha - \beta y$ يساوي صفرًا على المستقيم $y = \alpha/\beta$، ومعدل المفترسات $\delta x - \gamma$ يساوي صفرًا على المستقيم $x = \gamma/\delta$. يتقاطع خطّا النمو الصفري المتقطعان عند نقطة التوازن $(x^*, y^*) = (\gamma/\delta, \alpha/\beta)$ ويقسمان المستوى إلى أربع مناطق. أسفل $y^*$ تزداد الفرائس، وأعلاه تتناقص. إلى يمين $x^*$ تزداد المفترسات، وإلى يساره تتناقص. لذا يدور المسار عكس عقارب الساعة. تبلغ المفترسات قمتها عندما تتوقف عن الازدياد، أي عندما تعود الفرائس إلى $x^*$ بعد هبوطها من قمتها. هذه المدة هي التأخر المعروض في القراءة.

الدوران وحده لا يعيد المسار إلى البداية؛ فاللولب يدور أيضًا. ما يجعل المسار مغلقًا هو كمية تبقى ثابتة على طول كل حل: $$\begin{aligned} V &= \delta x - \gamma \ln x + \beta y - \alpha \ln y, \\ V' &= (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) + (\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0. \end{aligned}$$ كل مستوى من $V$ أعلى من قيمتها الصغرى يشكّل منحنى مغلقًا حول نقطة التوازن، فيتبعه المسار إلى بدايته ويكرر الدورة. مع الحد الأعلى $K$، يبطئ الازدحام نمو الفرائس ولا تبقى $V$ ثابتة. في المثال ذي الحد الأعلى، يلتف المسار نحو نقطة التوازن بدلًا من أن ينغلق.

مهما كبرت التقلبات، يساوي متوسط كل دورة كاملة نقطة التوازن تمامًا. بقسمة معادلة المفترسات على $y$ نحصل على $(\ln y)' = \delta x - \gamma$. خلال دورة واحدة تعود $y$ إلى قيمتها الابتدائية، فيكون التكامل 0، ويكون متوسط $x$ هو $\gamma/\delta = x^*$. وبالطريقة نفسها تعطي معادلة الفرائس متوسط $y$، وهو $\alpha/\beta = y^*$. التقلبات الأكبر تغيّر القيم القصوى والدور، لا المتوسطات.

صيد الجماعتين باستمرار بالمعدل نفسه لكل فرد، $\varepsilon$، يحوّل $\alpha$ إلى $\alpha - \varepsilon$ و$\gamma$ إلى $\gamma + \varepsilon$. دون الحد الأعلى تنتقل نقطة التوازن إلى $x^* = (\gamma + \varepsilon)/\delta$، $y^* = (\alpha - \varepsilon)/\beta$: فرائس أكثر في المتوسط ومفترسات أقل. متوسط الفرائس هو العدد الذي تتعادل عنده زيادة المفترسات وموتها تمامًا، لذا يرتفع عندما يجعل الصيد المفترسات تموت بمعدل أسرع.