معادلة الحرارة

يعرض الرسم العلوي درجة الحرارة $u$ على طول قضيب من الصفر إلى $\pi$: بلون باهت في البداية وبالأصفر عند الزمن $t$. تبيّن الأسهم الزرقاء سرعة ارتفاع درجة الحرارة أو انخفاضها عند كل نقطة. يلوّن الشريط أسفله القضيب حسب الحرارة، ويعرض الصف السفلي حجم كل نمط جيبي على مقياس لوغاريتمي، أو أنماط جيب التمام عند عزل الطرفين.

لماذا تتغير النقطة أسرع ما يكون حيث يشتد انحناء المنحنى؟ لخطوة صغيرة $h$، لدينا $u_{xx}(x) \approx \bigl(u(x-h) + u(x+h) - 2u(x)\bigr)/h^2$: أي الفرق بين متوسط الجارين و$u(x)$ مضروبًا في $2/h^2$. حيث $u_{xx} > 0$، ينحني المنحنى إلى أعلى؛ فتكون النقطة دون متوسط جيرانها القريبين وترتفع حرارتها. وحيث $u_{xx} < 0$، تنخفض حرارتها. وعلى مقطع مستقيم، $u_t = 0$ مهما كان ساخنًا. يمكن للمسبار إظهار ذلك بجارين قريبين ومتوسطهما. تصبح القفزات والزوايا ملساء فورًا: لكل $t > 0$، تكون درجة الحرارة منحنى أملس.

لماذا تزول التموجات الدقيقة أولًا؟ النمط المنفرد، $\sin kx$ عند تثبيت الطرفين على الصفر أو $\cos kx$ عند عزلهما، يحقق $u_{xx} = -k^2 u$؛ لذا يحتفظ بشكله ولا يفعل سوى التناقص بالعامل $e^{-k^2 t}$. ثلاثة أضعاف التموجات تعطي مشتقة ثانية أكبر تسع مرات عند الارتفاع نفسه، واضمحلالًا أسرع تسع مرات. كل درجة حرارة ابتدائية هي مجموع هذه الأنماط، لذلك تهبط الأعمدة في الصف السفلي بدءًا من اليمين: ينخفض النمط $k$ إلى أقل من ⁦10%⁩ من بدايته بعد $t_k = \ln 10/k^2$. في الساعة اللوغاريتمية، كل زيادة في الزمن بعامل عشرة تمحو أنماطًا أعرض بنحو $\sqrt{10} \approx 3.2$ مرات. تعطي المسطرة الحمراء $2\sqrt t$ هذا المقياس: النمط المنفرد الذي لا يتجاوز نصف طوله الموجي طول المسطرة يحتفظ على الأكثر بـ$e^{-\pi^2/4} \approx 8.48\%$ من سعته.

ما الذي يغيره الطرفان؟ حين يثبتان عند الصفر، يمثلان الجليد، وتقاس $u$ بالنسبة إلى درجة حرارة الجليد. مع الزمن، يهيمن أدنى نمط موجود في البداية على الشكل. إذا كانت درجة الحرارة الابتدائية غير سالبة في أي موضع وليست صفرًا في كل المواضع، تخرج الحرارة عبر الطرفين، وتنخفض $\int u\,dx$، ويصبح الشكل قوسًا جيبيًا واحدًا يهبط وفق $e^{-t}$. لا تعبر أي حرارة الطرفين المعزولين، لذا تبقى $\int u\,dx$ ثابتة. تصبح الأنماط حينئذ جيوب تمام، ولا يضمحل النمط $k = 0$، أي متوسط درجة الحرارة: يقترب القضيب كله من متوسطه. يعمل كلا الشرطين منذ $t = 0$؛ وأي حالة ابتدائية لا تطابق الشرط عند الطرف، كقضيب منتظم الحرارة بين قطعتي جليد، تتكيف هناك فورًا.