التقعر ونقاط الانعطاف

يكون المنحنى مقعّرًا لأعلى (∪) على فترة يتزايد فيها ميله $f'$ تزايدًا صارمًا، ومقعّرًا لأسفل (∩) حيث يتناقص تناقصًا صارمًا. إذا كانت ⁦f⁩ قابلة للاشتقاق، فالتقعر لأعلى يعني أيضًا أن المماس يدور عكس عقارب الساعة مع تزايد ⁦x⁩، وأن المنحنى فوق كل مماس وتحت كل وتر ضمن الفترة، عدا نقاط الالتقاء. وفي التقعر لأسفل تنعكس الخصائص الثلاث. تبدأ كتب كثيرة بالتعريف بواسطة الوتر، عندما تكون ⁦f⁩ متصلة على الفترة ولأي نقطتين $x_1 \ne x_2$ فيها:

يعرض الرسم العلوي ⁦f⁩ والمماس عند ⁦P⁩ ومماسات قصيرة موزعة على المنحنى. وتبيّن الفجوة الصفراء الباهتة بين المنحنى ومماس ⁦P⁩ مقدار ابتعاده عنه. يرسم المخطط السفلي ⁦f″⁩، ويعلّم الشريط بين الرسمين كل فترة بالرمز ∪ أو ∩.

إذا كانت $f'' > 0$ على فترة، فإن $f'$ تتزايد تزايدًا صارمًا ويكون المنحنى مقعّرًا لأعلى هناك. أما $f'' < 0$ فتجعله مقعّرًا لأسفل. الشرط كافٍ لكنه غير لازم: $x^4$ مقعّرة لأعلى على الخط كله رغم أن $f''(0) = 0$؛ لذا يصف الشريط فترةً، لا إشارة ⁦f″⁩ عند كل نقطة.

لماذا يدور المماس؟ تحقق زاويته ⁦φ⁩ مع محور ⁦x⁩ العلاقة $\tan\varphi = f'$، ومن ثم

لهذا المقدار إشارة ⁦f″⁩ نفسها، لذا يدور المماس عكس عقارب الساعة عندما ⁦f″ > 0⁩. ولا يعتمد مقداره على ⁦f″⁩ وحدها؛ فعندما يكون المنحنى شديد الانحدار، تجعل القيمة نفسها من ⁦f″⁩ دوران المماس أبطأ. يرسم القوس الأصفر عند ⁦P⁩ اتجاه دوران المماس وسرعته في هذه اللحظة، لا الزاوية التي سيدورها لاحقًا. يبقى المنحنى فوق مماسه $T_a$ عند ⁦a⁩ لأن $f(x) - T_a(x) = \int_a^x \big(f'(t) - f'(a)\big)\,dt$. ومع تزايد الميل، تكون إشارة الدالة تحت التكامل هي إشارة ⁦t − a⁩، فيكون التكامل موجبًا على جانبي ⁦a⁩.

النقطة التي تكون ⁦f⁩ متصلة عندها ويتعاكس التقعر على جانبيها هي نقطة انعطاف (◇). وإذا وُجد مماس هناك فإن المنحنى يعبره: في $x^3 - 3x$ يكون المماس عند ⁦0⁩ هو ⁦y = −3x⁩، وتتغير إشارة $f(x) - (-3x) = x^3$ عند ⁦0⁩. إذا وُجدت ⁦f″⁩ عند نقطة انعطاف فهي ⁦0⁩، لكن $f''(c) = 0$ وحدها ليست اختبارًا كافيًا. فالدالة $x^4$ تحقق ⁦f″(0) = 0⁩ بلا انعطاف، بينما $\sqrt[3]{x}$ ليس لها ⁦f′⁩ ولا ⁦f″⁩ عند ⁦0⁩، ومع ذلك تنتقل هناك من ∪ إلى ∩.

المماس الأفقي الذي يقع المنحنى فوقه على الجانبين يحدد قاعًا. إذا تحقق $f'(c) = 0$ و$f''(c) > 0$ فللدالة ⁦f⁩ قيمة صغرى محلية عند ⁦c⁩؛ ومع شرط المشتقة الأولى نفسه و$f''(c) < 0$ فلها قيمة عظمى محلية.

لا يُضمن بقاء المنحنى على جانب واحد من المماس إلا داخل فترة التقعر التي ينتمي إليها المماس. في $x^3 - 3x$ يلتقي المماس الأفقي عند ⁦x = 1⁩ بالمنحنى مجددًا عند ⁦x = −2⁩، وإلى يسار تلك النقطة يقع المنحنى تحته. يُرسم المماس بخط متصل داخل فترة التقعر لأعلى ⁦x ≥ 0⁩، ومنقّط خارجها.

تختلف أسماء الشكلين بين الكتب. بالإنجليزية يسمى ∪ محدّبًا أو مقعّرًا لأعلى، ويسمى ∩ مقعّرًا أو مقعّرًا لأسفل. وتستعمل الكتب الصينية 凹 و凸 بالترتيبين المتعاكسين. تضع الصفحة الرمزين ∪ و∩ على الشكلين؛ فهما لا يتغيران بتغيّر الاسم.