Konkavlık ve büküm noktaları

Eğimi $f'$ bir aralıkta kesin artan olan eğri yukarı konkav (∪), kesin azalan olan eğri aşağı konkavdır (∩). Türevlenebilir f için yukarı konkavlık, x arttıkça teğetin saat yönünün tersine dönmesi ve eğrinin aralık içinde her teğetin üstünde, her kirişin altında kalması anlamına da gelir; buluştukları noktalar bunun dışındadır. Aşağı konkavlıkta üçünün de tersi geçerlidir. Pek çok ders kitabı, aralıkta sürekli f ve aralıktaki herhangi iki $x_1 \ne x_2$ noktası için kiriş biçimindeki tanımdan başlar:

Üst grafik f’yi, P’deki teğeti ve eğri boyunca kısa teğetleri gösterir. Eğri ile P’nin teğeti arasındaki soluk sarı boşluk, aralarındaki uzaklığı gösterir. Alt grafik f″ değerini çizer; aradaki şerit her aralığı ∪ veya ∩ ile işaretler.

Bir aralıkta $f'' > 0$ ise $f'$ kesin artandır ve eğri orada yukarı konkavdır. $f'' < 0$ ise aşağı konkavlık verir. Bu koşul yeterlidir, gerekli değildir: $f''(0) = 0$ olmasına rağmen $x^4$ bütün doğru boyunca yukarı konkavdır. Dolayısıyla şerit, her noktadaki f″ işaretini değil, bir aralığın özelliğini gösterir.

Teğet neden döner? x ekseniyle yaptığı φ açısı $\tan\varphi = f'$ eşitliğini sağlar; dolayısıyla

Bu ifadenin işareti f″ ile aynıdır; dolayısıyla f″ > 0 iken teğet saat yönünün tersine döner. Büyüklüğü yalnızca f″ değildir: eğri dikken aynı f″ teğeti daha yavaş döndürür. P’deki sarı yay, teğetin o anda hangi yöne ve ne hızla döndüğünü gösterir; ileride döneceği açıyı göstermez. $f(x) - T_a(x) = \int_a^x \big(f'(t) - f'(a)\big)\,dt$ olduğundan eğri a’daki $T_a$ teğetinin üstünde kalır. Eğim artarken integrandın işareti t − a ile aynıdır; bu nedenle integral a’nın iki tarafında da pozitiftir.

f’nin sürekli olduğu ve iki yanında konkavlığın zıt olduğu nokta bir büküm noktasıdır (◇). Eğrinin orada teğeti varsa eğri onu keserek öbür tarafına geçer: $x^3 - 3x$ için 0’daki teğet y = −3x’tir ve $f(x) - (-3x) = x^3$ ifadesi 0’da işaret değiştirir. Bir büküm noktasında f″ varsa değeri 0’dır; ancak $f''(c) = 0$ tek başına bir test değildir. $x^4$ fonksiyonunda f″(0) = 0’dır ama büküm yoktur. $\sqrt[3]{x}$ fonksiyonunun ise 0’da f′ veya f″ türevi yoktur; yine de orada ∪ biçiminden ∩ biçimine geçer.

Yatay bir teğetin iki yanında da üstte kalan eğri bir vadi oluşturur. $f'(c) = 0$ ve $f''(c) > 0$ ise f’nin c’de yerel minimumu vardır; birinci türev koşulu korunup $f''(c) < 0$ olursa yerel maksimumu vardır.

Eğrinin teğetin bir tarafında kalacağı yalnızca teğetin ait olduğu konkavlık aralığında kesindir. $x^3 - 3x$ üzerinde x = 1’deki yatay teğet, x = −2’de eğriyle yeniden buluşur; bu noktanın solunda eğri teğetin altındadır. Teğet, yukarı konkav x ≥ 0 aralığında düz çizgiyle, dışında noktalı çizgiyle gösterilir.

Kitaplar biçimleri farklı adlandırır. İngilizcede ∪ için convex veya concave up, ∩ için concave veya concave down kullanılır. Çince ders kitaplarında 凹 ve 凸 terimlerinin iki zıt kullanımı da vardır. Sayfa, biçimleri ∪ ve ∩ ile işaretler; adlar değişse de bu simgeler değişmez.