凹凸と変曲点

傾き$f'$が狭義単調増加する区間では曲線は下に凸（∪）、狭義単調減少する区間では上に凸（∩）です。fが微分可能なら、下に凸であることは、xが増えるにつれて接線が反時計回りに回転し、曲線が区間内のどの接線よりも上、どの弦よりも下にあることも意味します。ただし、互いに接する点や交わる点を除きます。上に凸では、この3つがすべて逆になります。多くの教科書は弦を使って定義します。区間で連続なfと、区間内の任意の2点$x_1 \ne x_2$に対して：

上のグラフはf、Pでの接線、曲線に沿って並ぶ短い接線を示します。曲線とPの接線の間の淡い黄色の部分は、両者がどれだけ離れているかを表します。下のグラフはf″を描き、グラフの間の帯は各区間に∪か∩を示します。

ある区間で$f'' > 0$なら$f'$は狭義単調増加し、曲線はその区間で下に凸です。$f'' < 0$なら上に凸になります。これは十分条件ですが必要条件ではありません。$x^4$は$f''(0) = 0$でも実数全体で下に凸です。そのため帯は各点でのf″の符号ではなく、区間の性質を示します。

なぜ接線は回るのでしょうか。x軸との角度φは$\tan\varphi = f'$を満たすので、

この値の符号はf″と同じなので、f″ > 0なら接線は反時計回りに回転します。その大きさはf″だけでは決まりません。曲線が急な場所では、同じf″でも接線はゆっくり回るからです。Pにある黄色い弧は、その瞬間の回転の向きと速さを示し、先へ進んだときに回転する角度を表すものではありません。曲線がaでの接線$T_a$より上にあるのは、$f(x) - T_a(x) = \int_a^x \big(f'(t) - f'(a)\big)\,dt$だからです。傾きが増加している間、被積分関数の符号はt − aと同じなので、積分はaの両側で正になります。

fが連続で、その両側で凹凸が逆になる点を変曲点（◇）と呼びます。その点で接線があるなら、曲線はそれを横切ります。$x^3 - 3x$では0での接線はy = −3xであり、$f(x) - (-3x) = x^3$は0で符号が変わります。変曲点でf″が存在するなら0ですが、$f''(c) = 0$だけでは判定できません。関数$x^4$はf″(0) = 0でも変曲しません。一方、$\sqrt[3]{x}$は0でf′もf″も存在しませんが、そこで∪から∩に変わります。

接線が水平で、曲線がその両側で接線より上にあれば谷底です。$f'(c) = 0$かつ$f''(c) > 0$ならfはcで極小値をとり、$f''(c) < 0$なら極大値をとります。

曲線が接線の片側にとどまると保証できるのは、その接線の接点が属する凹凸の区間内だけです。$x^3 - 3x$では、x = 1の水平な接線がx = −2で曲線と再び交わり、その点より左では曲線が接線より下にあります。接線は下に凸の区間x ≥ 0では実線、区間外では点線です。

形の呼び方は本によって異なります。英語では∪をconvexまたはconcave up、∩をconcaveまたはconcave downと呼びます。中国語の教科書では凹と凸の対応が逆になることがあります。このページは呼び名に左右されない∪と∩で形を示します。