Konvexität und Wendepunkte

Eine Kurve ist auf einem Intervall konvex (∪), wenn ihre Steigung $f'$ streng monoton wächst, und konkav (∩), wenn sie streng monoton fällt. Für differenzierbares f bedeutet konvex auch, dass sich die Tangente mit wachsendem x gegen den Uhrzeigersinn dreht und die Kurve innerhalb des Intervalls über jeder Tangente und unter jeder Sehne liegt, außer an den gemeinsamen Punkten. Bei einer konkaven Kurve ist alles drei umgekehrt. Viele Lehrbücher beginnen mit der Sehnendefinition: Für ein auf dem Intervall stetiges f und beliebige zwei Punkte $x_1 \ne x_2$ darin gilt:

Der obere Graph zeigt f, die Tangente bei P und kurze Tangenten entlang der Kurve. Der blassgelbe Zwischenraum zeigt den Abstand zwischen Kurve und Tangente bei P. Der untere Graph stellt f″ dar, und der Streifen dazwischen kennzeichnet jedes Intervall mit ∪ oder ∩.

Gilt auf einem Intervall $f'' > 0$, so wächst $f'$ streng monoton und die Kurve ist dort konvex. $f'' < 0$ macht sie konkav. Diese Bedingung ist hinreichend, aber nicht notwendig: $x^4$ ist auf der ganzen reellen Achse konvex, obwohl $f''(0) = 0$ gilt. Der Streifen beschreibt deshalb ein Intervall und nicht das Vorzeichen von f″ an jedem einzelnen Punkt.

Warum dreht sich die Tangente? Für ihren Winkel φ mit der x-Achse gilt $\tan\varphi = f'$, also

Dieser Ausdruck hat das Vorzeichen von f″. Für f″ > 0 dreht sich die Tangente daher gegen den Uhrzeigersinn. Der Betrag hängt nicht allein von f″ ab: An steilen Stellen lässt derselbe Wert von f″ die Tangente langsamer drehen. Der gelbe Bogen bei P deutet Drehrichtung und Drehgeschwindigkeit in diesem Moment an, nicht den weiter entlang der Kurve durchlaufenen Winkel. Die Kurve bleibt oberhalb ihrer Tangente $T_a$ bei a, weil $f(x) - T_a(x) = \int_a^x \big(f'(t) - f'(a)\big)\,dt$ gilt. Während die Steigung zunimmt, hat der Integrand das Vorzeichen von t − a, sodass das Integral auf beiden Seiten von a positiv ist.

Ein Punkt, an dem f stetig ist und die Krümmungsrichtung auf den beiden Seiten entgegengesetzt ist, heißt Wendepunkt (◇). Hat die Kurve dort eine Tangente, durchquert sie diese: Bei $x^3 - 3x$ lautet die Tangente an der Stelle 0 y = −3x, und $f(x) - (-3x) = x^3$ wechselt bei 0 das Vorzeichen. Existiert f″ an einer Wendestelle, ist es dort 0, aber $f''(c) = 0$ allein ist kein Test. Bei $x^4$ gilt f″(0) = 0 ohne Wendepunkt; bei $\sqrt[3]{x}$ existieren weder f′ noch f″ an der Stelle 0, trotzdem wechselt die Kurve dort von ∪ zu ∩.

Eine waagerechte Tangente mit der Kurve beiderseits darüber liegt in einem Tal. Gelten $f'(c) = 0$ und $f''(c) > 0$, hat f bei c ein lokales Minimum; gilt stattdessen $f''(c) < 0$, ein lokales Maximum.

Nur innerhalb des Krümmungsintervalls ihres Berührpunkts bleibt die Kurve sicher auf einer Seite der Tangente. Bei $x^3 - 3x$ trifft die waagerechte Tangente an der Stelle x = 1 die Kurve bei x = −2 erneut; links davon liegt die Kurve unter ihr. Innerhalb des konvexen Intervalls x ≥ 0 ist die Tangente durchgezogen, außerhalb gepunktet.

Bücher benennen die Formen unterschiedlich. Auf Englisch heißt ∪ convex oder concave up und ∩ concave oder concave down. Chinesische Lehrbücher verwenden 凹 und 凸 in beiden Zuordnungen. Diese Seite kennzeichnet die Formen mit ∪ und ∩, die unabhängig vom Namen gleich bleiben.