凹向與反曲點

斜率$f'$嚴格遞增的區間內，曲線凹向上（∪）；嚴格遞減時則凹向下（∩）。對可微的f而言，凹向上也表示：隨x增加，切線逆時針旋轉；在區間內，除相遇點外，曲線高於每條切線、低於每條弦。凹向下時三者皆相反。許多教科書從弦的形式開始定義：對區間上連續的f及其中任意兩點$x_1 \ne x_2$，有：

上圖顯示f、P處的切線，以及沿曲線排列的短切線。曲線與P處切線之間的淡黃色區域，顯示兩者相距多遠。下圖繪出f″，兩圖之間的色帶以∪或∩標示各區間。

若某區間內$f'' > 0$，則$f'$嚴格遞增，曲線在該處凹向上；$f'' < 0$則使它凹向下。這是充分條件，並非必要條件：$x^4$雖然$f''(0) = 0$，卻在整條實數線上凹向上。因此色帶描述的是區間，而非各點的f″符號。

切線為何旋轉？它與x軸的夾角φ滿足$\tan\varphi = f'$，所以

這個量與f″同號，因此f″ > 0時切線逆時針旋轉。大小不只由f″決定：曲線陡峭處，同樣的f″只讓切線緩慢旋轉。P處的黃色弧線描繪此刻旋轉的方向與快慢，並非往前走一段後轉過的角度。曲線在a處的切線$T_a$上方，是因為$f(x) - T_a(x) = \int_a^x \big(f'(t) - f'(a)\big)\,dt$。斜率增加時，被積分函數與t − a同號，因此積分在a的兩側皆為正。

若f在某點連續，且兩側凹向相反，該點就是反曲點（◇）。若該處有切線，曲線就會穿過它：在$x^3 - 3x$上，0處切線為y = −3x，而$f(x) - (-3x) = x^3$在0處變號。若反曲點處的f″存在，便等於0；但$f''(c) = 0$不能單獨作為判定。函數$x^4$滿足f″(0) = 0卻沒有反曲點；$\sqrt[3]{x}$在0處既沒有f′也沒有f″，仍在該處由∪轉為∩。

切線水平且曲線在兩側都高於切線，就形成谷底。若$f'(c) = 0$且$f''(c) > 0$，f在c處有極小值；若$f''(c) < 0$，則有極大值。

只有在切點所屬的凹向區間內，才能保證曲線留在切線同一側。在$x^3 - 3x$上，x = 1處的水平切線會在x = −2處再次遇到曲線；該點左側的曲線低於切線。切線在凹向上的區間x ≥ 0內畫成實線，區間外則為點線。

不同書籍對形狀的命名不同。英文稱∪為convex或concave up，∩為concave或concave down；中文教科書中的凹與凸有兩種相反用法。本頁以∪與∩標示形狀，不受名稱影響。