Concavità e punti di flesso

Una curva è convessa (∪) in un intervallo in cui la pendenza $f'$ è strettamente crescente, e concava (∩) dove è strettamente decrescente. Per f derivabile, la convessità significa anche che la tangente ruota in senso antiorario all’aumentare di x e che la curva sta sopra ogni tangente e sotto ogni corda dell’intervallo, tranne nei punti di incontro. La concavità inverte tutte e tre le proprietà. Molti libri partono dalla definizione tramite corde, per f continua sull’intervallo e due punti qualsiasi $x_1 \ne x_2$ al suo interno:

Il grafico superiore mostra f, la tangente in P e tangenti corte distribuite lungo la curva. La zona giallo chiaro fra la curva e la tangente in P ne mostra la distanza. Il grafico inferiore rappresenta f″ e la fascia fra i due indica ogni intervallo con ∪ o ∩.

Se $f'' > 0$ su un intervallo, allora $f'$ è strettamente crescente e la curva è convessa. $f'' < 0$ la rende concava. La condizione è sufficiente, non necessaria: $x^4$ è convessa su tutta la retta anche se $f''(0) = 0$. Quindi la fascia descrive un intervallo, non il segno di f″ in ogni punto.

Perché la tangente ruota? Il suo angolo φ con l’asse x soddisfa $\tan\varphi = f'$, quindi

Questa espressione ha il segno di f″, quindi con f″ > 0 la tangente ruota in senso antiorario. Il suo valore non dipende solo da f″: dove la curva è ripida, lo stesso f″ fa ruotare lentamente la tangente. L’arco giallo in P indica il verso e la velocità di rotazione in quell’istante, non l’angolo percorso più avanti. La curva resta sopra la propria tangente $T_a$ in a perché $f(x) - T_a(x) = \int_a^x \big(f'(t) - f'(a)\big)\,dt$. Mentre la pendenza aumenta, l’integranda ha il segno di t − a, perciò l’integrale è positivo da entrambi i lati di a.

Un punto in cui f è continua e la concavità cambia da un lato all’altro è un punto di flesso (◇). Se lì esiste una tangente, la curva la attraversa: per $x^3 - 3x$ la tangente in 0 è y = −3x e $f(x) - (-3x) = x^3$ cambia segno in 0. Se f″ esiste in un flesso, vale 0, ma $f''(c) = 0$ non basta come criterio. La funzione $x^4$ ha f″(0) = 0 senza flesso, mentre $\sqrt[3]{x}$ non ha f′ né f″ in 0 eppure vi passa da ∪ a ∩.

Una tangente orizzontale con la curva sopra da entrambi i lati forma una valle. Se $f'(c) = 0$ e $f''(c) > 0$, f ha un minimo locale in c; se, sempre con derivata prima nulla, $f''(c) < 0$, un massimo locale.

Si può garantire che la curva resti da un solo lato di una tangente soltanto nell’intervallo di concavità della tangente stessa. Per $x^3 - 3x$, la tangente orizzontale in x = 1 incontra di nuovo la curva in x = −2; a sinistra di quel punto la curva sta sotto. La tangente è disegnata a tratto continuo nell’intervallo convesso x ≥ 0 e a puntini al di fuori.

I libri danno nomi diversi alle forme. In inglese ∪ si chiama convex o concave up, e ∩ concave o concave down. I libri cinesi usano 凹 e 凸 in entrambi i sensi. La pagina identifica le forme con ∪ e ∩, che non cambiano con il nome.