Выпуклость и точки перегиба

Кривая выпукла вниз (∪) на интервале, где её наклон $f'$ строго возрастает, и выпукла вверх (∩), где он строго убывает. Для дифференцируемой f выпуклость вниз также означает, что с ростом x касательная поворачивается против часовой стрелки, а кривая лежит выше каждой касательной и ниже каждой хорды внутри интервала, кроме точек их встречи. При выпуклости вверх все три свойства меняются на противоположные. Многие учебники начинают с определения через хорду для непрерывной на интервале f и любых двух точек $x_1 \ne x_2$ в нём:

Верхний график показывает f, касательную в P и короткие касательные вдоль кривой. Светло-жёлтый зазор между кривой и касательной в P показывает, насколько они расходятся. Нижний график изображает f″, а полоса между графиками отмечает каждый интервал знаком ∪ или ∩.

Если на интервале $f'' > 0$, то $f'$ строго возрастает и кривая выпукла вниз. Условие $f'' < 0$ даёт выпуклость вверх. Это достаточное, но не необходимое условие: $x^4$ выпукла вниз на всей прямой, хотя $f''(0) = 0$. Поэтому полоса описывает интервал, а не знак f″ в каждой точке.

Почему касательная поворачивается? Её угол φ с осью x удовлетворяет равенству $\tan\varphi = f'$, поэтому

Знак этой величины совпадает со знаком f″, поэтому при f″ > 0 касательная поворачивается против часовой стрелки. Её величина зависит не только от f″: на крутом участке та же f″ поворачивает касательную медленнее. Жёлтая дуга в P схематически показывает направление и скорость поворота в этот момент, а не угол дальнейшего поворота. Кривая лежит выше своей касательной $T_a$ в a, поскольку $f(x) - T_a(x) = \int_a^x \big(f'(t) - f'(a)\big)\,dt$. При возрастании наклона подынтегральное выражение имеет знак t − a, поэтому интеграл положителен по обе стороны a.

Точка, в которой f непрерывна, а по разные стороны от неё выпуклость противоположна, — это точка перегиба (◇). Если в ней есть касательная, кривая пересекает её: у $x^3 - 3x$ касательная в 0 имеет вид y = −3x, а $f(x) - (-3x) = x^3$ меняет знак в 0. Если f″ существует в точке перегиба, она равна 0, но условие $f''(c) = 0$ само по себе ничего не доказывает. У функции $x^4$ выполнено f″(0) = 0, а перегиба нет; у $\sqrt[3]{x}$ в 0 нет ни f′, ни f″, однако здесь она переходит от ∪ к ∩.

Горизонтальная касательная, над которой кривая лежит с обеих сторон, отмечает впадину. Если $f'(c) = 0$ и $f''(c) > 0$, то у f в c локальный минимум; при том же условии на первую производную и $f''(c) < 0$ — локальный максимум.

Кривая гарантированно остаётся с одной стороны касательной только внутри того интервала выпуклости, которому принадлежит точка касания. У $x^3 - 3x$ горизонтальная касательная при x = 1 снова встречает кривую при x = −2, а левее кривая лежит ниже неё. Внутри интервала выпуклости вниз x ≥ 0 касательная сплошная, а снаружи пунктирная.

В книгах эти формы называют по-разному. По-английски ∪ — convex или concave up, а ∩ — concave или concave down. Китайские учебники используют 凹 и 凸 в обоих противоположных значениях. На странице формы отмечены знаками ∪ и ∩: они не зависят от названия.