Kecekungan dan titik belok

Kurva cekung ke atas (∪) pada interval tempat kemiringannya $f'$ naik secara ketat, dan cekung ke bawah (∩) tempat kemiringannya turun secara ketat. Untuk f yang dapat diturunkan, cekung ke atas juga berarti garis singgung berputar berlawanan arah jarum jam saat x bertambah, serta kurva berada di atas setiap garis singgung dan di bawah setiap tali busur dalam interval itu, selain di titik pertemuan. Cekung ke bawah membalik ketiganya. Banyak buku memulai dengan definisi tali busur, untuk f yang kontinu pada interval dan sembarang dua titik $x_1 \ne x_2$ di dalamnya:

Grafik atas menunjukkan f, garis singgung di P, dan garis-garis singgung pendek sepanjang kurva. Celah kuning pucat antara kurva dan garis singgung P menunjukkan jarak keduanya. Grafik bawah menggambar f″, dan pita di antara grafik menandai setiap interval dengan ∪ atau ∩.

Jika $f'' > 0$ pada suatu interval, $f'$ naik secara ketat dan kurva cekung ke atas di sana. $f'' < 0$ membuatnya cekung ke bawah. Syarat ini cukup, tetapi tidak perlu: $x^4$ cekung ke atas di seluruh garis meskipun $f''(0) = 0$. Jadi, pita menggambarkan suatu interval, bukan tanda f″ pada setiap titik.

Mengapa garis singgung berputar? Sudutnya φ terhadap sumbu x memenuhi $\tan\varphi = f'$, sehingga

Tandanya sama dengan f″, sehingga saat f″ > 0 garis singgung berputar berlawanan arah jarum jam. Besarnya bukan f″ saja: pada bagian kurva yang curam, f″ yang sama memutar garis singgung lebih lambat. Busur kuning di P menggambarkan arah dan laju putaran pada saat ini, bukan sudut putaran lebih jauh di sepanjang kurva. Kurva tetap di atas garis singgungnya $T_a$ di a karena $f(x) - T_a(x) = \int_a^x \big(f'(t) - f'(a)\big)\,dt$. Selama kemiringan bertambah, integran bertanda sama dengan t − a, sehingga integral positif di kedua sisi a.

Titik tempat f kontinu dan kecekungan berbeda di kedua sisinya adalah titik belok (◇). Jika ada garis singgung di sana, kurva melintasinya: pada $x^3 - 3x$, garis singgung di 0 adalah y = −3x, dan $f(x) - (-3x) = x^3$ berganti tanda di 0. Jika f″ ada pada titik belok, nilainya 0, tetapi $f''(c) = 0$ saja bukan uji yang cukup. Fungsi $x^4$ memiliki f″(0) = 0 tanpa titik belok, sedangkan $\sqrt[3]{x}$ tidak memiliki f′ maupun f″ di 0, tetapi berubah dari ∪ menjadi ∩ di sana.

Garis singgung mendatar dengan kurva di atasnya pada kedua sisi menandai lembah. Jika $f'(c) = 0$ dan $f''(c) > 0$, f memiliki minimum lokal di c; dengan syarat turunan pertama yang sama dan $f''(c) < 0$, f memiliki maksimum lokal.

Kurva hanya dijamin tetap di satu sisi garis singgung dalam interval kecekungan tempat garis singgung itu berada. Pada $x^3 - 3x$, garis singgung mendatar di x = 1 bertemu lagi dengan kurva di x = −2; di sebelah kirinya, kurva berada di bawah garis singgung. Garis singgung digambar utuh pada interval cekung ke atas x ≥ 0 dan bertitik di luarnya.

Buku-buku memberi nama berbeda pada bentuk-bentuk ini. Dalam bahasa Inggris, ∪ disebut convex atau concave up, sedangkan ∩ disebut concave atau concave down. Buku berbahasa Tionghoa menggunakan 凹 dan 凸 dalam dua urutan yang berlawanan. Halaman ini menandai bentuk dengan ∪ dan ∩, yang tetap sama meskipun namanya berubah.