Concavidade e pontos de inflexão

Uma curva tem concavidade para cima (∪) num intervalo onde o seu declive $f'$ é estritamente crescente e concavidade para baixo (∩) onde é estritamente decrescente. Para f diferenciável, a concavidade para cima também significa que a tangente roda no sentido anti-horário quando x aumenta e que a curva fica acima de todas as tangentes e abaixo de todas as cordas do intervalo, exceto nos pontos de encontro. A concavidade para baixo inverte as três propriedades. Muitos livros partem da definição pelas cordas, para f contínua no intervalo e quaisquer dois pontos $x_1 \ne x_2$ nele:

O gráfico superior mostra f, a tangente em P e tangentes curtas distribuídas ao longo da curva. A zona amarela clara entre a curva e a tangente em P mostra o seu afastamento. O gráfico inferior representa f″ e a faixa entre os gráficos assinala cada intervalo com ∪ ou ∩.

Se $f'' > 0$ num intervalo, então $f'$ é estritamente crescente e a curva tem concavidade para cima. $f'' < 0$ dá-lhe concavidade para baixo. A condição é suficiente, mas não necessária: $x^4$ tem concavidade para cima em toda a reta, embora $f''(0) = 0$. A faixa descreve, por isso, um intervalo e não o sinal de f″ em cada ponto.

Por que roda a tangente? O seu ângulo φ com o eixo x satisfaz $\tan\varphi = f'$, pelo que

Esta expressão tem o sinal de f″, pelo que, com f″ > 0, a tangente roda no sentido anti-horário. O seu valor não depende apenas de f″: onde a curva é muito inclinada, o mesmo f″ faz a tangente rodar lentamente. O arco amarelo em P indica o sentido e a rapidez da rotação nesse instante, não o ângulo que roda mais adiante. A curva mantém-se acima da sua tangente $T_a$ em a porque $f(x) - T_a(x) = \int_a^x \big(f'(t) - f'(a)\big)\,dt$. Enquanto o declive aumenta, o integrando tem o sinal de t − a, pelo que o integral é positivo de ambos os lados de a.

Um ponto onde f é contínua e a concavidade é oposta dos dois lados é um ponto de inflexão (◇). Se aí houver tangente, a curva atravessa-a: em $x^3 - 3x$, a tangente em 0 é y = −3x e $f(x) - (-3x) = x^3$ muda de sinal em 0. Se f″ existir num ponto de inflexão, é 0, mas $f''(c) = 0$ não basta como teste. A função $x^4$ tem f″(0) = 0 sem inflexão, enquanto $\sqrt[3]{x}$ não tem f′ nem f″ em 0 e, ainda assim, passa de ∪ para ∩ nesse ponto.

Uma tangente horizontal com a curva acima da tangente de ambos os lados forma um vale. Se $f'(c) = 0$ e $f''(c) > 0$, f tem um mínimo local em c; se, mantendo nula a primeira derivada, $f''(c) < 0$, um máximo local.

Só se garante que a curva fica de um lado de uma tangente dentro do intervalo de concavidade a que esta pertence. Em $x^3 - 3x$, a tangente horizontal em x = 1 volta a encontrar a curva em x = −2, e à esquerda desse ponto a curva fica abaixo. A tangente é desenhada a traço contínuo no intervalo com concavidade para cima x ≥ 0 e a pontilhado fora dele.

Os livros dão nomes diferentes às formas. Em inglês, ∪ chama-se convex ou concave up, e ∩, concave ou concave down. Os livros chineses usam 凹 e 凸 nos dois sentidos. A página identifica as formas com ∪ e ∩, que não mudam com o nome.