Método de Newton

O método de Newton aproxima uma raiz de f, um número r tal que $f(r) = 0$, repetindo um passo. Na estimativa atual $x_n$, toma-se a tangente ao gráfico em $(x_n, f(x_n))$, que é $L(x) = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$. Perto de $x_n$, a tangente permanece próxima da curva, pelo que o seu cruzamento com o eixo x é uma melhor estimativa de onde a curva o cruza. Resolver $L(x) = 0$ dá a estimativa seguinte. No gráfico, cada passo segue a linha tracejada ténue desde $x_n$ até à curva e, depois, a tangente até ao eixo.

Escreva-se $e_n = x_n - r$ para o erro. Se r é uma raiz simples ($f'(r) \ne 0$) e f tem segunda derivada contínua, um desenvolvimento de Taylor do passo dá $e_{n+1} \approx \frac{f''(r)}{2f'(r)}\,e_n^2$ quando $x_n$ está perto de r. Elevar o erro ao quadrado quase duplica o número de algarismos corretos. Para x² − 2 a partir de x₀ = 1, os erros são 0.086, 0.0025, 2.1 × 10⁻⁶ e 1.6 × 10⁻¹², e o indicador mostra $e_n/e_{n-1}^2$ a estabilizar perto de $1/(2\sqrt2) \approx 0.354$. Longe da raiz, não há essa garantia. Onde $f''(r) = 0$, o termo quadrático desaparece e é ainda mais rápido: para arctan x, o erro é aproximadamente $-\tfrac23 e_n^3$, elevado ao cubo em cada passo.

O passo exige $f'(x_n) \ne 0$. Uma tangente horizontal nunca encontra o eixo; uma quase horizontal encontra-o longe: para x² − 2 a partir de 0.1, o primeiro passo chega a 10.05. O método também pode falhar sem se afastar. Para x³ − 2x + 2, a tangente em 0 chega a 1, a de 1 regressa a 0, e os inícios próximos de 0 são atraídos para esse ciclo: a sucessão fica limitada, mas não tem limite. Para arctan x, há uma fronteira α ≈ 1.3917, o número que satisfaz $2\alpha = (1 + \alpha^2)\arctan\alpha$. Os inícios com |x₀| < α convergem; os que a ultrapassam chegam cada vez mais longe do outro lado. A opção «Todos os inícios» colore o eixo x segundo o destino de cada início. Para x³ − 2x + 2, cerca de um quinto de [−3, 3] acaba no ciclo, incluindo faixas estreitas que se acumulam junto dos pontos com tangente horizontal $\pm\sqrt{2/3}$. Começar com números complexos transforma essas faixas no fractal de Newton.

Numa raiz múltipla, também se verifica $f'(r) = 0$, e perde-se a convergência quadrática. Para $(x - 1)^2$, o passo é exatamente $x_{n+1} = (x_n + 1)/2$, pelo que o erro se reduz a metade em cada passo. É convergência linear: cerca de 3.3 passos por cada nova casa decimal. Perto de uma raiz de multiplicidade m, o quociente $e_{n+1}/e_n$ tende para $(m - 1)/m$.