Fractal de Newton

O método de Newton procura uma raiz de um polinómio $p$ repetindo um passo a partir de um ponto inicial $z_0$:

Cada píxel da imagem é um ponto inicial no plano complexo. Recebe a cor da raiz em cujo disco entra primeiro. Cada disco tem uma garantia demonstrada: pelo teorema γ de Smale, o método de Newton converge para essa raiz a partir de qualquer ponto inicial no seu interior, pelo que uma cor nunca é uma suposição baseada em «qual é a raiz mais próxima». Em torno de uma raiz simples $\zeta$, o disco tem raio $(3-\sqrt7)/(2\gamma)$, onde $\gamma = \max_{k\ge2}\bigl|p^{(k)}(\zeta)/(k!\,p'(\zeta))\bigr|^{1/(k-1)}$.

O sombreado representa quantos passos um ponto inicial precisa de dar para chegar a um disco; o tratamento dos tons claros e escuros varia com o aspeto escolhido. As linhas finas marcam os limites de «os pontos iniciais que chegam a um disco em até k passos» — os níveis que o botão vermelho mostra um a um. O preto significa apenas que um ponto inicial não entrou em nenhum disco nos passos tentados. O sombreado suave, o brilho ao longo da fronteira e o fio dourado do aspeto «Dourado» são apenas efeitos visuais; a raiz a que um píxel chega, e o número de passos necessários, são resultados numéricos de cálculos de 32 bits.

A bacia inteira de uma raiz é o conjunto de todos os pontos iniciais que acabam por chegar a ela, incluindo as pequenas partes longe da raiz. Todas estas bacias têm uma única e mesma fronteira: o conjunto de Julia da aplicação $N$. Assim, arbitrariamente perto de qualquer ponto da fronteira, há pontos iniciais que vão para cada uma das raízes. É por isso que as cores alternam a todas as escalas e que a opção «Mostrar a bacia inteira de uma raiz» a mostra em cada pequena conta ao longo da fronteira.

Perto desta fronteira, alguns passos do método de Newton podem afastar muito pontos iniciais vizinhos. No destaque «Separados por um fio», dois pontos iniciais separados por 0.02 em $z^3-1$ ficam a uma distância de 0.047 após um passo e de 0.268 após dois; entram nos discos de raízes diferentes nos passos 6 e 7.

Com apenas duas raízes, a imagem é simples: a fronteira é a mediatriz do segmento que une as duas raízes. Na coordenada $w = (z-1)/(z+1)$ (raízes em ±1), o passo de Newton torna-se $w \mapsto w^2$. Com uma terceira raiz, a fronteira torna-se um fractal.

Para $p(z) = z^3 - 2z + 2$, o ponto inicial 0 vai para 1 e regressa a 0 indefinidamente: um ciclo cujo multiplicador $N'(0)\,N'(1)$ é 0, pelo que todos os pontos iniciais suficientemente próximos também entram nele. Esses pontos iniciais formam as ilhas pretas; nunca chegam a uma raiz.

Onde podem surgir tais ciclos? $N' = p\,p''/p'^2$ anula-se em cada raiz, pelo que cada raiz é um ponto crítico de $N$ e pertence à sua própria bacia. Os outros pontos críticos — os pontos críticos livres — são os zeros de $p''$ que não são raízes; onde $p'$ também se anula, $N$ tem um polo múltiplo, que continua a ser um ponto crítico, enviado para ∞. Por um teorema de Fatou, cada ciclo atrator atrai pelo menos um ponto crítico. Um ciclo que não seja uma raiz não pode atrair uma raiz, que permanece na sua própria bacia, pelo que tem de atrair um ponto crítico livre. Seguir os pontos críticos livres pode, portanto, revelar estas falhas. A lista usa aproximações numéricas; se não for possível separar os zeros de forma fiável, indica-os como não resolvidos, em vez de declarar um ponto múltiplo ou um polo. O recíproco não é válido: para $z^3-1$, o ponto crítico livre 0 também é um zero de $p'$; é enviado para ∞, um ponto fixo repulsor de $N$, e não há ilhas pretas.

Com três raízes, $p''$ tem um zero, o centroide das raízes; a menos que seja ele próprio uma raiz (como em $z^3-z$), é o único ponto crítico livre. O mapa inserido mostra posições para a raiz selecionada, mantendo as outras duas fixas: cada ponto recebe a cor da raiz em cujo disco certificado a órbita do centroide entra quando a raiz selecionada é colocada nessa posição, e fica preto se não entrar em nenhum em 300 passos. Nesta família de polinómios cúbicos, os blocos pretos mostram pequenas cópias da estrutura do conjunto de Mandelbrot, observadas pela primeira vez em experiências computacionais por Curry, Garnett e Sullivan (1983). Arraste a raiz selecionada através de um deles e as ilhas pretas na imagem aparecem e desaparecem. Ao mover a raiz 1 de $z^3-2z+2$ para a esquerda ao longo do eixo real através do seu bloco (o destaque «Através do bloco preto»), o período do ciclo duplica, 2 → 4 → 8, aproximadamente em −1.8045 e −1.832 (numericamente) — como ao longo do eixo real do conjunto de Mandelbrot.

Arthur Cayley perguntou em 1879 que raiz o método de Newton encontra a partir de um dado ponto inicial complexo; resolveu o caso de duas raízes e considerou difícil o de três. Pierre Fatou e Gaston Julia desenvolveram a teoria da iteração de aplicações racionais por volta de 1918–1920, muito antes das imagens computacionais. Imagens das bacias de Newton e da estrutura semelhante à de Mandelbrot no seu espaço de parâmetros surgiram no início da década de 1980; as estimativas de Steve Smale (1986) fornecem os discos certificados usados aqui.