Conjunto de Julia: exploração interativa

O conjunto de Julia nesta visualização

Para um número complexo fixo $c$ , o conjunto de Julia preenchido $K_c$ é o conjunto dos valores iniciais $z_0$ para os quais a sucessão abaixo se mantém limitada; assim que $|z_n| > \max(2, |c|)$ , escapa para o infinito. O conjunto de Julia $J_c$ é a fronteira de $K_c$ : arbitrariamente perto de cada um dos seus pontos há valores iniciais que escapam e valores iniciais que não escapam.

z_{n+1} = z_n^2 + c,\qquad K_c = \{\, z_0 \in \mathbb{C} : |z_n| \le \max(2, |c|) \ \ \forall n \ge 0 \,\},\qquad J_c = \partial K_c

O que mostram as duas imagens

O plano z, a imagem maior: cada ponto é um valor inicial $z_0$ , colorido segundo a rapidez com que a sua órbita escapa. A coloração suave é apenas visual. O preto significa «não escapou dentro do limite de iterações $N$ » — um veredito numérico. As vistas de poeira e o dendrito $c = i$ têm área nula, pelo que quase todos os píxeis aí escapam; os pontos a menos de meio píxel de $K_c$ , segundo uma estimativa de distância, também são escurecidos para o tornar visível: novamente, apenas para visualização.

O plano c, o ecrã no painel: o conjunto de Mandelbrot, com uma cruz vermelha no $c$ da página. Arraste a cruz ou clique num ponto para alterar $c$ . Os pontos amarelos na imagem maior são a órbita de 0 (ou de um ponto inicial em que clique).

Por que tem este aspeto

A tecla vermelha desenha os valores iniciais com $|z_n| \le R$ , $R = \max(2, |c|)$ , para $n = 1, 2, 3, \ldots$ : cada região fica dentro da anterior, aproximando-se de $K_c$ . Cada região é a imagem inversa da anterior por $z \mapsto z^2 + c$ , e a imagem inversa de um disco tem uma só peça exatamente quando o disco contém o valor crítico $c$ . Assim, as regiões mantêm uma só peça enquanto a órbita de 0 permanece dentro de $R$ ; a partir do passo em que sai, dividem-se em 2, depois 4, 8, … peças.

Este é o teorema de Fatou e Julia [1, 2] para $z^2 + c$ : $K_c$ é conexo quando a órbita de 0 é limitada e uma «poeira» totalmente desconexa (um conjunto de Cantor) quando escapa. O conjunto de Mandelbrot é exatamente o conjunto dos $c$ para os quais $K_c$ é conexo.

Um ciclo atrator atrai sempre a órbita de 0, pelo que $z^2 + c$ tem, no máximo, um: o interior preto de $K_c$ converge para ele. Na cúspide $c = 1/4$ e em $c = -3/4$ , o ciclo é parabólico; no ponto de rotação áurea da cardioide principal, o ponto fixo está rodeado por um disco de Siegel, onde as órbitas dão voltas indefinidamente [3]. Nesses casos, não existe ciclo atrator; com as definições predefinidas, a leitura do período indica «indeterminado» (com $N$ muito grande, a verificação numérica pode confundir uma aproximação lenta com um ciclo).

Equívocos frequentes

Preto significa «não escapou em $N$ passos». Perto da fronteira, um $N$ maior pode transformar píxeis pretos em coloridos.
O sombreado escuro da poeira e dos ramos é uma estimativa de distância, não pontos que permanecem limitados: para $c$ fora do conjunto de Mandelbrot, $K_c$ tem área 0.
A poeira que ainda se parece com uma forma familiar (logo após a cúspide) continua a ter infinitas peças.
O plano c contém o parâmetro; a órbita vive no plano z.

História

Gaston Julia e Pierre Fatou desenvolveram a teoria da iteração de funções racionais em 1918–1920, antes de existirem imagens de computador [1, 2]. Carl Ludwig Siegel mostrou em 1942 que alguns pontos fixos neutros estão rodeados por discos de órbitas circulantes [3]. As imagens de computador a partir de 1980 e o trabalho de Douady e Hubbard tornaram estes conjuntos amplamente conhecidos [4].

Conceitos relacionados

Conjunto de Mandelbrot · Fractal de Newton (página planeada) · Números complexos

Referências

G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
C. L. Siegel, “Iteration of analytic functions”, Annals of Mathematics 43 (1942) 607–612. doi:10.2307/1968952
J. Milnor, Dynamics in One Complex Variable, 3rd ed., Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press (2006).

Para saber mais: Wikipédia: Julia set (Inglês); MacTutor — História da Matemática: Gaston Julia (Inglês); MacTutor — História da Matemática: Pierre Fatou (Inglês).