مجموعة جوليا: مستكشف تفاعلي

مجموعة جوليا في هذا التصوّر

لعدد مركّب ثابت $c$ ، تكون مجموعة جوليا الممتلئة $K_c$ هي مجموعة قيم البداية $z_0$ التي تبقى المتتالية أدناه محدودة عندها؛ وما إن يتحقق $|z_n| > \max(2, |c|)$ حتى تهرب إلى اللانهاية. مجموعة جوليا $J_c$ هي حدود $K_c$ : على قرب اعتباطي من كل نقطة فيها توجد قيم بداية تهرب وأخرى لا تهرب.

z_{n+1} = z_n^2 + c,\qquad K_c = \{\, z_0 \in \mathbb{C} : |z_n| \le \max(2, |c|) \ \ \forall n \ge 0 \,\},\qquad J_c = \partial K_c

ماذا تُظهر الصورتان؟

مستوى z، أي الصورة الكبيرة: كل نقطة قيمة بداية $z_0$ ، يحدّد لونها زمن هروب مدارها. التلوين السلس للعرض فقط. يعني الأسود «لم تهرب ضمن حد التكرار $N$ » — وهو حكم عددي. لا مساحة للغبار في المشاهد المختارة ولا للشجيرة $c = i$ ، لذا يهرب كل بكسل تقريبًا هناك؛ وتُظلّل أيضًا النقاط التي تقع، وفق تقدير المسافة، ضمن نصف بكسل من $K_c$ كي تراها: وذلك للعرض فقط أيضًا.

مستوى c، أي الشاشة في اللوحة: مجموعة ماندلبروت، مع علامة تقاطع حمراء عند قيمة $c$ في الصفحة. اسحب العلامة أو انقر نقطة لتغيير $c$ . النقاط الصفراء في الصورة الكبيرة هي مدار 0 (أو مدار نقطة بداية تنقرها).

لماذا تبدو هكذا؟

يرسم المفتاح الأحمر قيم البداية التي تحقق $|z_n| \le R$ ، حيث $R = \max(2, |c|)$ ، للقيم $n = 1, 2, 3, \ldots$ : كل منطقة داخل سابقتها، فتقترب من $K_c$ . كل منطقة هي الصورة العكسية للسابقة تحت $z \mapsto z^2 + c$ ، وتكون الصورة العكسية لقرص قطعة واحدة إذا وفقط إذا احتوى القرص القيمة الحرجة $c$ . لذا تبقى المناطق قطعة واحدة ما دام مدار 0 ضمن $R$ ؛ ومن الخطوة التي يخرج فيها، تنقسم إلى 2 ثم 4 ثم 8، … قطع.

هذه مبرهنة فاتو وجوليا [1، 2] للدالة $z^2 + c$ : تكون $K_c$ متصلة حين يكون مدار 0 محدودًا، و«غبارًا» منفصلًا تمامًا (مجموعة كانتور) حين يهرب. مجموعة ماندلبروت هي بالضبط مجموعة قيم $c$ التي تكون عندها $K_c$ متصلة.

الدورة الجاذبة تجذب دائمًا مدار 0، لذا ليس لـ $z^2 + c$ أكثر من دورة جاذبة واحدة: ينساب إليها الداخل الأسود لـ $K_c$ . عند الرأس الحاد $c = 1/4$ وعند $c = -3/4$ تكون الدورة مكافئية بدلًا من ذلك؛ وعند نقطة النسبة الذهبية على المنحنى القلبي الرئيسي، يحيط بالنقطة الثابتة قرص سيغل تدور فيه المدارات إلى الأبد [3]. في هذه الحالات لا توجد دورة جاذبة؛ وبالإعدادات الافتراضية تعرض قراءة طول الدورة «غير محسوم» (عند $N$ كبيرة جدًا قد يخطئ الفحص العددي ويحسب الاقتراب البطيء دورة).

ما يسهل الخلط فيه

يعني الأسود «لم تهرب خلال $N$ خطوة». قرب الحافة قد تحوّل قيمة $N$ أكبر البكسلات السوداء إلى ألوان.
التظليل الداكن للغبار والفروع تقدير للمسافة، وليس نقاطًا تبقى محدودة: عندما تقع $c$ خارج مجموعة ماندلبروت، تكون مساحة $K_c$ صفرًا.
الغبار الذي لا يزال يشبه شكلًا مألوفًا (بعد الرأس الحاد مباشرة) يتكوّن مع ذلك من عدد لا نهائي من القطع.
يحتوي مستوى c المعامل؛ ويقع المدار في مستوى z.

لمحة تاريخية

طوّر غاستون جوليا وبيير فاتو نظرية تكرار الدوال النسبية في 1918–1920، قبل وجود صور الحاسوب [1، 2]. وأثبت كارل لودفيغ سيغل سنة 1942 أن بعض النقاط الثابتة المحايدة تحيط بها أقراص من المدارات الدائرة [3]. وأشاعت صور الحاسوب منذ 1980، وأعمال دوادي وهوبارد، معرفة هذه المجموعات [4].

مفاهيم ذات صلة

مجموعة ماندلبروت · كسير نيوتن (صفحة قيد الإعداد) · الأعداد المركّبة

المراجع

G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
C. L. Siegel, “Iteration of analytic functions”, Annals of Mathematics 43 (1942) 607–612. doi:10.2307/1968952
J. Milnor, Dynamics in One Complex Variable, 3rd ed., Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press (2006).

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Julia set (الإنجليزية); أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات: Gaston Julia (الإنجليزية); أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات: Pierre Fatou (الإنجليزية).