ジュリア集合

この図で見るジュリア集合

複素数 $c$ を固定したとき、充填ジュリア集合 $K_c$ は、以下の数列が有界にとどまる初期値 $z_0$ の集合です。いったん $|z_n| > \max(2, |c|)$ になると無限遠へ発散します。ジュリア集合 $J_c$ は $K_c$ の境界で、その各点のどれだけ近くにも、脱出する初期値と脱出しない初期値があります。

2つの画像が示すもの

大きな画像はz 平面です。各点は初期値 $z_0$ で、軌道が脱出するまでの速さに応じて色を付けます。滑らかな配色は表示上の処理です。黒は「上限 $N$ 回以内では脱出しなかった」という数値的な判定です。塵状の見どころや $c = i$ の樹状体は面積がないので、ほぼすべてのピクセルが脱出します。見えるように、距離推定で $K_c$ から半ピクセル以内の点も暗くしています。これも表示上の処理です。

パネル内の画面はc 平面、マンデルブロ集合です。赤い十字が現在の $c$ を示します。十字をドラッグするか点をクリックすると $c$ が変わります。大きな画像の黄色い点は0からの軌道、またはクリックした開始点からの軌道です。

この形になる理由

赤いキーは $|z_n| \le R$、$R = \max(2, |c|)$ を満たす初期値を $n = 1, 2, 3, \ldots$ の順に描きます。各領域は前の領域の内側にあり、$K_c$ へ近づきます。各領域は写像 $z \mapsto z^2 + c$ による直前の領域の逆像です。円盤の逆像がひとつながりになるのは、円盤が臨界値 $c$ を含むとき、かつそのときに限ります。したがって0の軌道が $R$ 以内にある間は領域もひとつながりですが、外に出た段階から2、4、8、…個に分かれます。

これは $z^2 + c$ に対するファトゥーとジュリアの定理 [1, 2] です。0の軌道が有界なら $K_c$ は連結、脱出すれば完全不連結な「塵」（カントール集合）になります。マンデルブロ集合は、$K_c$ が連結になる $c$ 全体にほかなりません。

吸引周期軌道は必ず0の軌道を引き付けるので、$z^2 + c$ に存在する吸引周期軌道は高々1つです。$K_c$ の黒い内部はそこへ集まります。尖点 $c = 1/4$ と $c = -3/4$ では周期軌道は放物型です。主カージオイド上の黄金平均の点では、不動点をジーゲル円板が囲み、その中の軌道は永遠に周回します [3]。これらには吸引周期軌道がなく、初期設定の周期表示は「未判定」です（$N$ を非常に大きくすると、数値判定が遅い接近を周期軌道と誤認する場合があります）。

読み違えやすいところ

• 黒は「$N$ 回以内では脱出しなかった」という意味です。境界付近では $N$ を増やすと黒いピクセルに色が付くことがあります。
• 塵や枝の暗い表示は距離推定によるもので、有界にとどまる点を示すとは限りません。$c$ がマンデルブロ集合の外なら $K_c$ の面積は0です。
• 尖点の少し先で見慣れた形に見えても、塵状の集合は無限個の部分に分かれています。
• c 平面はパラメーターの場所、軌道が動くのは z 平面です。

歴史

ガストン・ジュリアとピエール・ファトゥーは、コンピューター画像のなかった1918～1920年に有理関数の反復理論を築きました [1, 2]。カール・ルートヴィヒ・ジーゲルは1942年、一部の中立不動点が周回軌道の円板に囲まれることを示しました [3]。1980年以降のコンピューター画像と、ドゥアディおよびハバードの研究によって、これらの集合は広く知られるようになりました [4]。

関連する概念

マンデルブロ集合 · ニュートン・フラクタル（ページ準備中）· 複素数

参考文献

1. G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
2. P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
3. C. L. Siegel, “Iteration of analytic functions”, Annals of Mathematics 43 (1942) 607–612. doi:10.2307/1968952
4. J. Milnor, Dynamics in One Complex Variable, 3rd ed., Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press (2006).

さらに読む: ウィキペディア: Julia set (英語); MacTutor数学史アーカイブ: Gaston Julia (英語); MacTutor数学史アーカイブ: Pierre Fatou (英語).