Julia-Menge: Interaktiv erkunden

Die Julia-Menge in dieser Visualisierung

Für eine feste komplexe Zahl $c$ ist die ausgefüllte Julia-Menge $K_c$ die Menge der Startwerte $z_0$ , für die die folgende Folge beschränkt bleibt. Sobald $|z_n| > \max(2, |c|)$ gilt, entweicht sie ins Unendliche. Die Julia-Menge $J_c$ ist der Rand von $K_c$ : Beliebig nahe an jedem ihrer Punkte liegen sowohl Startwerte, die entweichen, als auch solche, die nicht entweichen.

z_{n+1} = z_n^2 + c,\qquad K_c = \{\, z_0 \in \mathbb{C} : |z_n| \le \max(2, |c|) \ \ \forall n \ge 0 \,\},\qquad J_c = \partial K_c

Was die beiden Bilder zeigen

Die z-Ebene, das große Bild: Jeder Punkt ist ein Startwert $z_0$ , gefärbt danach, wie schnell seine Bahn entweicht. Die glatte Färbung dient nur der Darstellung. Schwarz bedeutet „kein Entweichen bis zur Iterationsgrenze $N$ “ — eine numerische Aussage. Die Staubansichten und der Dendrit $c = i$ haben Fläche null; daher entweicht dort fast jedes Pixel. Punkte, die laut Abstandsschätzung weniger als ein halbes Pixel von $K_c$ entfernt liegen, werden ebenfalls dunkel gefärbt, damit die Menge sichtbar wird — auch das dient nur der Darstellung.

Die c-Ebene, das Bild im Bedienfeld: die Mandelbrot-Menge mit einem roten Kreuz beim aktuellen $c$ . Ziehe das Kreuz oder klicke einen Punkt, um $c$ zu ändern. Die gelben Punkte im großen Bild zeigen die Bahn von 0 (oder eines angeklickten Startpunkts).

Warum es so aussieht

Die rote Taste zeichnet die Startwerte mit $|z_n| \le R$ , $R = \max(2, |c|)$ , für $n = 1, 2, 3, \ldots$ : Jedes Gebiet liegt im vorherigen, und gemeinsam nähern sie sich $K_c$ . Jedes Gebiet ist das Urbild des vorherigen unter $z \mapsto z^2 + c$ . Das Urbild einer Kreisscheibe ist genau dann zusammenhängend, wenn sie den kritischen Wert $c$ enthält. Die Gebiete bleiben also zusammenhängend, solange die Bahn von 0 innerhalb von $R$ bleibt. Ab dem Schritt, in dem sie diesen Radius verlässt, zerfallen sie in 2, dann 4, 8, … Teile.

Das ist der Satz von Fatou und Julia [1, 2] für $z^2 + c$ : $K_c$ ist zusammenhängend, wenn die Bahn von 0 beschränkt bleibt, und total unzusammenhängender „Staub“ (eine Cantor-Menge), wenn sie entweicht. Die Mandelbrot-Menge besteht genau aus den $c$ , für die $K_c$ zusammenhängend ist.

Ein anziehender Zyklus zieht stets die Bahn von 0 an; deshalb hat $z^2 + c$ höchstens einen. Das schwarze Innere von $K_c$ strömt auf ihn zu. An der Spitze $c = 1/4$ und bei $c = -3/4$ ist der Zyklus stattdessen parabolisch. Am Punkt des Goldenen Schnitts auf der Hauptkardioide umgibt den Fixpunkt eine Siegel-Scheibe, in der die Bahnen ewig kreisen [3]. In diesen Fällen gibt es keinen anziehenden Zyklus; bei Standardeinstellungen zeigt die Periodenanzeige „unbestimmt“ (bei sehr großem $N$ kann die numerische Prüfung eine langsame Annäherung mit einem Zyklus verwechseln).

Häufige Missverständnisse

Schwarz heißt „in $N$ Schritten nicht entwichen“. Nahe dem Rand kann ein größeres $N$ schwarze Pixel farbig werden lassen.
Die dunkle Färbung von Staub und Ästen zeigt eine Abstandsschätzung, keine Punkte mit beschränkter Bahn: Für $c$ außerhalb der Mandelbrot-Menge hat $K_c$ Fläche 0.
Staub, der noch wie eine vertraute Form aussieht (knapp hinter der Spitze), besteht dennoch aus unendlich vielen Teilen.
Die c-Ebene enthält den Parameter; die Bahn liegt in der z-Ebene.

Geschichte

Gaston Julia und Pierre Fatou entwickelten 1918–1920 die Theorie der Iteration rationaler Funktionen, lange vor Computerbildern [1, 2]. Carl Ludwig Siegel zeigte 1942, dass manche neutralen Fixpunkte von Scheiben kreisender Bahnen umgeben sind [3]. Computerbilder ab 1980 und die Arbeiten von Douady und Hubbard machten die Mengen weithin bekannt [4].

Quellen

G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
C. L. Siegel, “Iteration of analytic functions”, Annals of Mathematics 43 (1942) 607–612. doi:10.2307/1968952
J. Milnor, Dynamics in One Complex Variable, 3rd ed., Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press (2006).

Weiterführende Literatur: Wikipedia: Julia set (Englisch); MacTutor zur Geschichte der Mathematik: Gaston Julia (Englisch); MacTutor zur Geschichte der Mathematik: Pierre Fatou (Englisch).