Ensemble de Julia : exploration interactive

L’ensemble de Julia dans cette visualisation

Pour un nombre complexe $c$ fixé, l’ensemble de Julia rempli $K_c$ est l’ensemble des valeurs initiales $z_0$ pour lesquelles la suite ci-dessous reste bornée ; dès que $|z_n| > \max(2, |c|)$ , elle s’échappe à l’infini. L’ensemble de Julia $J_c$ est la frontière de $K_c$ : arbitrairement près de chacun de ses points se trouvent des valeurs initiales qui s’échappent et d’autres qui ne s’échappent pas.

z_{n+1} = z_n^2 + c,\qquad K_c = \{\, z_0 \in \mathbb{C} : |z_n| \le \max(2, |c|) \ \ \forall n \ge 0 \,\},\qquad J_c = \partial K_c

Ce que montrent les deux images

Le plan des z, la grande image : chaque point est une valeur initiale $z_0$ , colorée selon la rapidité d’échappement de son orbite. Le coloriage continu ne sert qu’à l’affichage. Le noir signifie « aucun échappement dans la limite de $N$ itérations » — un verdict numérique. Les vues de poussière et la dendrite $c = i$ ont une aire nulle, donc presque tous les pixels s’y échappent ; les points situés, selon une estimation de distance, à moins d’un demi-pixel de $K_c$ sont aussi assombris pour le rendre visible : là encore, pour l’affichage seulement.

Le plan des c, l’écran du panneau : l’ensemble de Mandelbrot, avec une croix rouge au $c$ de la page. Faites glisser la croix ou cliquez sur un point pour modifier $c$ . Les points jaunes de la grande image sont l’orbite de 0 (ou d’un point de départ sur lequel vous cliquez).

Pourquoi cette forme

La touche rouge dessine les valeurs initiales vérifiant $|z_n| \le R$ , $R = \max(2, |c|)$ , pour $n = 1, 2, 3, \ldots$ : chaque région est contenue dans la précédente et se resserre vers $K_c$ . Chaque région est l’image réciproque de la précédente par $z \mapsto z^2 + c$ , et l’image réciproque d’un disque est connexe exactement lorsque le disque contient la valeur critique $c$ . Les régions restent donc connexes tant que l’orbite de 0 reste dans $R$ ; dès l’étape où elle en sort, elles se divisent en 2, puis 4, 8, … morceaux.

C’est le théorème de Fatou et Julia [1, 2] pour $z^2 + c$ : $K_c$ est connexe lorsque l’orbite de 0 est bornée, et une « poussière » totalement discontinue (un ensemble de Cantor) lorsqu’elle s’échappe. L’ensemble de Mandelbrot est exactement l’ensemble des $c$ pour lesquels $K_c$ est connexe.

Un cycle attractif attire toujours l’orbite de 0 ; $z^2 + c$ en a donc au plus un : l’intérieur noir de $K_c$ y converge. À la pointe $c = 1/4$ et en $c = -3/4$ , le cycle est parabolique ; au point du nombre d’or sur la cardioïde principale, le point fixe est entouré d’un disque de Siegel, où les orbites tournent indéfiniment [3]. Dans ces cas, aucun cycle attractif n’existe ; avec les réglages par défaut, la période affichée est « indéterminée » (avec un très grand $N$ , le contrôle numérique peut prendre une approche lente pour un cycle).

À ne pas confondre

Le noir signifie « ne s’est pas échappé en $N$ étapes ». Près du bord, augmenter $N$ peut colorer des pixels auparavant noirs.
L’ombrage sombre de la poussière et des branches provient d’une estimation de distance, pas de points qui restent bornés : pour $c$ extérieur à l’ensemble de Mandelbrot, $K_c$ a une aire nulle.
Une poussière qui ressemble encore à une forme familière (juste après la pointe) reste néanmoins constituée d’une infinité de morceaux.
Le plan des c contient le paramètre ; l’orbite évolue dans le plan des z.

Histoire

Gaston Julia et Pierre Fatou ont développé la théorie de l’itération des fonctions rationnelles en 1918–1920, avant les images informatiques [1, 2]. Carl Ludwig Siegel a montré en 1942 que certains points fixes neutres sont entourés de disques d’orbites tournantes [3]. Les images informatiques à partir de 1980 et les travaux de Douady et Hubbard ont largement fait connaître ces ensembles [4].

Concepts associés

Ensemble de Mandelbrot · Fractale de Newton (page prévue) · Nombres complexes

Références

G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
C. L. Siegel, “Iteration of analytic functions”, Annals of Mathematics 43 (1942) 607–612. doi:10.2307/1968952
J. Milnor, Dynamics in One Complex Variable, 3rd ed., Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press (2006).

Pour aller plus loin: Wikipédia: Julia set (Anglais); MacTutor History of Mathematics: Gaston Julia (Anglais); MacTutor History of Mathematics: Pierre Fatou (Anglais).