Conjunto de Julia: explorador interactivo

El conjunto de Julia en esta visualización

Para un número complejo fijo $c$ , el conjunto de Julia relleno $K_c$ es el conjunto de valores iniciales $z_0$ para los que la sucesión siguiente permanece acotada; en cuanto $|z_n| > \max(2, |c|)$ , escapa al infinito. El conjunto de Julia $J_c$ es la frontera de $K_c$ : arbitrariamente cerca de cada uno de sus puntos hay valores iniciales que escapan y valores que no.

z_{n+1} = z_n^2 + c,\qquad K_c = \{\, z_0 \in \mathbb{C} : |z_n| \le \max(2, |c|) \ \ \forall n \ge 0 \,\},\qquad J_c = \partial K_c

Qué muestran las dos imágenes

El plano z, la imagen grande: cada punto es un valor inicial $z_0$ , coloreado según lo pronto que escapa su órbita. El coloreado suave solo sirve para la representación. Negro significa «no escapa dentro del límite de iteraciones $N$ », un dictamen numérico. Las vistas destacadas de polvo y la dendrita $c = i$ no tienen área, así que casi todos sus píxeles escapan; también se oscurecen los puntos cuya distancia estimada a $K_c$ es menor de medio píxel para hacerlo visible: esto también es solo representación.

El plano c, la pantalla del panel: el conjunto de Mandelbrot, con una cruz roja en el $c$ de la página. Arrastra la cruz o haz clic en un punto para cambiar $c$ . Los puntos amarillos de la imagen grande son la órbita de 0 (o del punto inicial en el que hagas clic).

Por qué tiene este aspecto

La tecla roja dibuja los valores iniciales con $|z_n| \le R$ , $R = \max(2, |c|)$ , para $n = 1, 2, 3, \ldots$ : cada región dentro de la anterior, aproximándose a $K_c$ . Cada región es la preimagen de la anterior por $z \mapsto z^2 + c$ , y la preimagen de un disco es una sola pieza exactamente cuando el disco contiene el valor crítico $c$ . Así, las regiones siguen siendo una pieza mientras la órbita de 0 permanece dentro de $R$ ; desde el paso en que sale, se dividen en 2, luego 4, 8, … piezas.

Ese es el teorema de Fatou y Julia [1, 2] para $z^2 + c$ : $K_c$ es conexo cuando la órbita de 0 está acotada y es un «polvo» totalmente disconexo (un conjunto de Cantor) cuando escapa. El conjunto de Mandelbrot es exactamente el conjunto de $c$ para los que $K_c$ es conexo.

Un ciclo atractor siempre atrae la órbita de 0, por lo que $z^2 + c$ tiene como máximo uno: el interior negro de $K_c$ converge hacia él. En la cúspide $c = 1/4$ y en $c = -3/4$ , el ciclo es parabólico; en el punto de la media áurea de la cardioide principal, el punto fijo está rodeado por un disco de Siegel donde las órbitas giran indefinidamente [3]. En esos casos no existe un ciclo atractor; con los ajustes predeterminados, la lectura del periodo indica «indeterminado» (con un $N$ muy grande, la comprobación numérica puede confundir una aproximación lenta con un ciclo).

Posibles confusiones

Negro significa «no escapó en $N$ pasos». Cerca del borde, un $N$ mayor puede convertir píxeles negros en colores.
El sombreado oscuro del polvo y las ramas es una estimación de distancia, no puntos que permanecen acotados: para $c$ fuera del conjunto de Mandelbrot, $K_c$ tiene área 0.
Un polvo que aún recuerda a una forma conocida (justo más allá de la cúspide) sigue estando formado por infinitas piezas.
El plano c contiene el parámetro; la órbita vive en el plano z.

Historia

Gaston Julia y Pierre Fatou desarrollaron la teoría de iteración de funciones racionales en 1918–1920, antes de las imágenes por ordenador [1, 2]. Carl Ludwig Siegel demostró en 1942 que algunos puntos fijos neutros están rodeados por discos de órbitas que giran [3]. Las imágenes por ordenador desde 1980 y el trabajo de Douady y Hubbard dieron a conocer ampliamente estos conjuntos [4].

Conceptos relacionados

Conjunto de Mandelbrot · Fractal de Newton (página prevista) · Números complejos

Referencias

G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
C. L. Siegel, “Iteration of analytic functions”, Annals of Mathematics 43 (1942) 607–612. doi:10.2307/1968952
J. Milnor, Dynamics in One Complex Variable, 3rd ed., Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press (2006).

Para saber más: Wikipedia: Julia set (Inglés); MacTutor: historia de las matemáticas: Gaston Julia (Inglés); MacTutor: historia de las matemáticas: Pierre Fatou (Inglés).