Insieme di Julia: esplorazione interattiva

L’insieme di Julia in questa visualizzazione

Per un numero complesso fissato $c$ , l’insieme di Julia pieno $K_c$ è l’insieme dei valori iniziali $z_0$ per cui la successione seguente resta limitata; una volta che $|z_n| > \max(2, |c|)$ , diverge all’infinito. L’insieme di Julia $J_c$ è il bordo di $K_c$ : arbitrariamente vicino a ciascuno dei suoi punti ci sono valori iniziali che fuggono e valori iniziali che non fuggono.

z_{n+1} = z_n^2 + c,\qquad K_c = \{\, z_0 \in \mathbb{C} : |z_n| \le \max(2, |c|) \ \ \forall n \ge 0 \,\},\qquad J_c = \partial K_c

Cosa mostrano le due immagini

Il piano z, l’immagine grande: ogni punto è un valore iniziale $z_0$ , colorato in base alla rapidità con cui la sua orbita fugge. La colorazione continua serve solo alla visualizzazione. Nero significa «nessuna fuga entro il limite di iterazioni $N$ » — un risultato numerico. Le viste guidate della polvere e il dendrite $c = i$ non hanno area, quindi quasi ogni pixel lì fugge; vengono scuriti anche i punti entro mezzo pixel da $K_c$ , secondo una stima della distanza, per renderlo visibile: anche questo è solo un effetto di visualizzazione.

Il piano c, lo schermo nel pannello: l’insieme di Mandelbrot, con una croce rossa sul $c$ della pagina. Trascina la croce o fai clic in un punto per modificare $c$ . I punti gialli nell’immagine grande sono l’orbita di 0 (o di un punto iniziale selezionato).

Perché ha questa forma

Il tasto rosso disegna i valori iniziali con $|z_n| \le R$ , $R = \max(2, |c|)$ , per $n = 1, 2, 3, \ldots$ : ogni regione è dentro la precedente e si avvicina a $K_c$ . Ogni regione è la controimmagine della precedente tramite $z \mapsto z^2 + c$ e la controimmagine di un disco è connessa esattamente quando il disco contiene il valore critico $c$ . Le regioni restano quindi connesse finché l’orbita di 0 resta entro $R$ ; dal passo in cui esce, si dividono in 2, poi 4, 8, … parti.

Questo è il teorema di Fatou e Julia [1, 2] per $z^2 + c$ : $K_c$ è connesso quando l’orbita di 0 è limitata ed è una «polvere» totalmente sconnessa (un insieme di Cantor) quando fugge. L’insieme di Mandelbrot è esattamente l’insieme dei $c$ per cui $K_c$ è connesso.

Un ciclo attrattivo attrae sempre l’orbita di 0, quindi $z^2 + c$ ne ha al massimo uno: l’interno nero di $K_c$ vi converge. Nella cuspide $c = 1/4$ e in $c = -3/4$ il ciclo è invece parabolico; nel punto della cardioide principale legato al rapporto aureo, il punto fisso è circondato da un disco di Siegel, dove le orbite girano per sempre [3]. In questi casi non esiste un ciclo attrattivo; con le impostazioni predefinite, il periodo indicato dalla pagina è «indeterminato» (con $N$ molto grande, il controllo numerico può scambiare un avvicinamento lento per un ciclo).

Possibili equivoci

Nero significa «non è fuggito entro $N$ passi». Vicino al bordo, un $N$ maggiore può colorare pixel prima neri.
L’ombreggiatura scura di polvere e rami è una stima della distanza, non rappresenta punti che restano limitati: per $c$ fuori dall’insieme di Mandelbrot, $K_c$ ha area 0.
Una polvere che somiglia ancora a una forma familiare (appena oltre la cuspide) è comunque composta da infinite parti.
Il piano c contiene il parametro; l’orbita vive nel piano z.

Storia

Gaston Julia e Pierre Fatou svilupparono la teoria dell’iterazione delle funzioni razionali nel 1918–1920, prima delle immagini al computer [1, 2]. Carl Ludwig Siegel mostrò nel 1942 che alcuni punti fissi neutri sono circondati da dischi di orbite che girano [3]. Le immagini al computer dal 1980 e il lavoro di Douady e Hubbard resero questi insiemi ampiamente noti [4].

Concetti collegati

Insieme di Mandelbrot · Frattale di Newton (pagina in programma) · Numeri complessi

Riferimenti

G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
C. L. Siegel, “Iteration of analytic functions”, Annals of Mathematics 43 (1942) 607–612. doi:10.2307/1968952
J. Milnor, Dynamics in One Complex Variable, 3rd ed., Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press (2006).

Per approfondire: Wikipedia: Julia set (Inglese); MacTutor History of Mathematics: Gaston Julia (Inglese); MacTutor History of Mathematics: Pierre Fatou (Inglese).