쥘리아 집합

이 시각화에서 보는 쥘리아 집합

고정된 복소수 $c$에 대해 채워진 쥘리아 집합 $K_c$는 아래 수열이 유계로 남는 초깃값 $z_0$의 집합입니다. 일단 $|z_n| > \max(2, |c|)$이면 무한대로 발산합니다. 쥘리아 집합 $J_c$은 $K_c$의 경계입니다. 그 모든 점에 아무리 가까이 가도 탈출하는 출발점과 탈출하지 않는 출발점이 모두 있습니다.

두 그림이 보여 주는 것

큰 그림인 z평면에서 각 점은 초깃값 $z_0$이며, 궤도가 얼마나 빨리 탈출하는지에 따라 색을 입힙니다. 매끄러운 색 변화는 시각적 표현일 뿐입니다. 검은색은 ‘반복 한도 $N$ 안에서 탈출하지 않음’이라는 수치 판정입니다. 먼지 집합의 주요 장면과 수지상 집합 $c = i$는 넓이가 없으므로 거의 모든 픽셀이 탈출합니다. 보이도록 거리 추정으로 $K_c$에서 반 픽셀 이내인 점도 어둡게 칠합니다. 이것도 시각적 표시일 뿐입니다.

패널 속 화면인 c평면은 망델브로 집합이며, 현재 $c$에 빨간 십자 표시가 있습니다. 십자 표시를 드래그하거나 점을 클릭하여 $c$를 바꾸세요. 큰 그림의 노란 점들은 0 또는 클릭한 출발점의 궤도입니다.

왜 이런 모양일까?

빨간 버튼은 $n = 1, 2, 3, \ldots$에 대해 $|z_n| \le R$, $R = \max(2, |c|)$을 만족하는 출발점들을 그립니다. 각 영역은 이전 영역 안에 들어가 $K_c$에 다가갑니다. 각 영역은 $z \mapsto z^2 + c$에 의한 이전 영역의 역상이며, 원판의 역상이 연결되는 것은 그 원판이 임계값 $c$를 포함할 때뿐입니다. 따라서 0의 궤도가 $R$ 안에 머무는 동안 영역은 연결되어 있고, 벗어나는 단계부터 2, 4, 8, …조각으로 나뉩니다.

이것이 $z^2 + c$에 대한 파투와 쥘리아의 정리입니다 [1, 2]. 0의 궤도가 유계이면 $K_c$은 연결되어 있고, 탈출하면 완전 비연결인 ‘먼지 집합’, 즉 칸토어 집합입니다. 망델브로 집합은 정확히 $K_c$이 연결되는 $c$의 집합입니다.

끌어당기는 주기 궤도는 항상 0의 궤도를 끌어당기므로 $z^2 + c$에는 최대 하나만 존재합니다. $K_c$의 검은 내부는 그 궤도로 모입니다. 뾰족점 $c = 1/4$와 $c = -3/4$에서는 주기 궤도가 포물형이고, 주 심장형 곡선의 황금비 지점에서는 고정점 주위를 지겔 원판이 둘러싸 그 안에서 궤도가 영원히 돕니다 [3]. 이 경우 끌어당기는 주기 궤도가 없어 기본 설정에서는 주기가 ‘미결정’으로 표시됩니다. $N$를 매우 크게 잡으면 수치 검사가 느린 접근을 주기 궤도로 오인할 수 있습니다.

헷갈리기 쉬운 점

• 검은색은 ‘$N$단계 안에 탈출하지 않음’입니다. 경계 근처에서는 $N$을 늘리면 검은 픽셀이 색을 띨 수 있습니다.
• 먼지와 가지의 어두운 음영은 거리 추정에 따른 것으로, 유계로 머무르는 점들을 나타내지 않습니다. $c$가 망델브로 집합 바깥이면 $K_c$의 넓이는 0입니다.
• 뾰족점을 조금 벗어난 곳처럼 익숙한 모양으로 보이는 먼지 집합도 여전히 무한히 많은 조각으로 나뉩니다.
• c평면에는 매개변수가 있고, 궤도는 z평면에 있습니다.

역사

가스통 쥘리아와 피에르 파투는 컴퓨터 그림이 없던 1918–1920년에 유리함수 반복 이론을 발전시켰습니다 [1, 2]. 카를 루트비히 지겔은 1942년 일부 중립 고정점 주위에 회전하는 궤도들의 원판이 있음을 보였습니다 [3]. 1980년 이후의 컴퓨터 그림과 두아디·허버드의 연구로 이 집합들이 널리 알려졌습니다 [4].

관련 개념

망델브로 집합 · 뉴턴 프랙털 (페이지 준비 중) · 복소수

참고 문헌

1. G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
2. P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
3. C. L. Siegel, “Iteration of analytic functions”, Annals of Mathematics 43 (1942) 607–612. doi:10.2307/1968952
4. J. Milnor, Dynamics in One Complex Variable, 3rd ed., Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press (2006).

더 읽어 보기: Wikipedia: Julia set (영어); MacTutor 수학사 아카이브: Gaston Julia (영어); MacTutor 수학사 아카이브: Pierre Fatou (영어).