Julia 集

這個視覺化中的 Julia 集

固定複數 $c$ 後，填充 Julia 集 $K_c$ 是使下列數列保持有界的起始值 $z_0$ 所成的集合；一旦 $|z_n| > \max(2, |c|)$，軌道就會逃向無窮遠。Julia 集 $J_c$ 是 $K_c$ 的邊界：在它的每一點附近，不論多近，都有會逃逸與不會逃逸的起始值。

兩幅圖各自顯示什麼

z 平面，也就是大圖：每一點都是起始值 $z_0$，依軌道多快逃逸著色。平滑色彩僅供顯示。黑色表示「在迭代上限 $N$ 內未逃逸」，屬於數值判定。塵埃精選視角及樹枝 $c = i$ 沒有面積，因此其中幾乎每個像素都會逃逸；為了讓集合可見，距離估計判斷在 $K_c$ 半個像素以內的點也會塗深，同樣只是顯示方式。

c 平面，也就是面板內的小螢幕：顯示 Mandelbrot 集，紅色十字標出本頁的 $c$。拖曳十字或點選任一點可改變 $c$。大圖上的黃點是 0 的軌道，或你點選之起點的軌道。

為什麼會長成這樣

紅色按鈕依 $n = 1, 2, 3, \ldots$，逐步畫出滿足 $|z_n| \le R$、$R = \max(2, |c|)$ 的起始值：每個區域都包含在前一個之內，逐漸逼近 $K_c$。每個區域都是前一區域在 $z \mapsto z^2 + c$ 下的原像，而圓盤的原像恰好在圓盤包含臨界值 $c$ 時連成一體。因此，只要 0 的軌道仍在 $R$ 內，這些區域就保持連通；從它離開的那一步起，區域分裂成 2、4、8……塊。

這就是 Fatou 與 Julia 對 $z^2 + c$ 的定理 [1, 2]：0 的軌道有界時，$K_c$ 連通；逃逸時，則是完全不連通的「塵埃」（Cantor 集）。Mandelbrot 集恰好就是使 $K_c$ 連通的 $c$ 所成的集合。

吸引週期軌道一定會吸引 0 的軌道，因此 $z^2 + c$ 至多只有一條：$K_c$ 的黑色內部都流向它。在尖點 $c = 1/4$ 與 $c = -3/4$ 處，週期軌道則是拋物型；在主心臟線的黃金平均數點，不動點周圍有 Siegel 圓盤，軌道會在其中永遠繞行 [3]。這些情況都沒有吸引週期軌道；預設設定下，本頁的週期讀值顯示「未定」（$N$ 非常大時，數值檢查可能把緩慢逼近誤判為週期軌道）。

容易誤解的地方

• 黑色表示「$N$ 步內未逃逸」。在邊緣附近，提高 $N$ 可能會讓黑色像素轉為彩色。
• 塵埃與枝條的深色陰影來自距離估計，並不代表那些點保持有界：當 $c$ 在 Mandelbrot 集外，$K_c$ 的面積為 0。
• 即使塵埃仍有熟悉的輪廓（如剛越過尖點時），它仍然由無限多塊組成。
• c 平面放的是參數；軌道則存在於 z 平面。

歷史

Gaston Julia 與 Pierre Fatou 在 1918–1920 年發展有理函數迭代理論，當時還沒有電腦影像 [1, 2]。Carl Ludwig Siegel 在 1942 年證明，某些中性不動點周圍有軌道繞行的圓盤 [3]。1980 年起的電腦圖像，以及 Douady 與 Hubbard 的研究，使這些集合廣為人知 [4]。

相關概念

Mandelbrot 集 · 牛頓碎形（頁面規劃中） · 複數

參考資料

1. G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
2. P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
3. C. L. Siegel, “Iteration of analytic functions”, Annals of Mathematics 43 (1942) 607–612. doi:10.2307/1968952
4. J. Milnor, Dynamics in One Complex Variable, 3rd ed., Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press (2006).

延伸閱讀: 維基百科: Julia set (英文); MacTutor 數學史資料庫: Gaston Julia (英文); MacTutor 數學史資料庫: Pierre Fatou (英文).