Множество Жюлиа

Множество Жюлиа в этой визуализации

При фиксированном комплексном числе $c$ заполненное множество Жюлиа $K_c$ — множество начальных значений $z_0$, для которых последовательность ниже остаётся ограниченной; как только $|z_n| > \max(2, |c|)$, она уходит на бесконечность. Множество Жюлиа $J_c$ — граница $K_c$: сколь угодно близко к каждой его точке есть и уходящие, и не уходящие начальные значения.

Что показывают два изображения

Плоскость z, большое изображение: каждая точка — начальное значение $z_0$, окрашенное по времени выхода орбиты. Плавная окраска служит только отображению. Чёрный означает «не вышло за предел итераций $N$» — это численный результат. Пыль в примерах и дендрит $c = i$ имеют нулевую площадь, поэтому почти каждый пиксель там выходит; точки на расстоянии менее половины пикселя от $K_c$, согласно оценке расстояния, тоже затемнены, чтобы множество было видно: это также только отображение.

Плоскость c, экран в панели: множество Мандельброта, красный крестик в текущем $c$. Перетащите крестик или нажмите на точку, чтобы изменить $c$. Жёлтые точки на большом изображении — орбита 0 (или выбранной нажатием начальной точки).

Почему изображение устроено так

Красная кнопка рисует начальные значения с $|z_n| \le R$, $R = \max(2, |c|)$, для $n = 1, 2, 3, \ldots$: каждая область лежит внутри предыдущей, приближаясь к $K_c$. Каждая область — прообраз предыдущей при $z \mapsto z^2 + c$, а прообраз круга связен ровно тогда, когда круг содержит критическое значение $c$. Поэтому области остаются связными, пока орбита 0 остаётся внутри $R$; с шага выхода они распадаются на 2, затем 4, 8, … частей.

Это теорема Фату и Жюлиа [1, 2] для $z^2 + c$: $K_c$ связно, если орбита 0 ограничена, и является вполне несвязной «пылью» (канторовым множеством), если она уходит. Множество Мандельброта — в точности множество $c$, для которых $K_c$ связно.

Притягивающий цикл всегда притягивает орбиту 0, поэтому у $z^2 + c$ он не более чем один: чёрная внутренность $K_c$ стекается к нему. В острие $c = 1/4$ и при $c = -3/4$ цикл вместо этого параболический; в точке золотого сечения главной кардиоиды неподвижная точка окружена диском Зигеля, где орбиты вращаются бесконечно [3]. В этих случаях притягивающего цикла нет; при настройках по умолчанию период указан как «не определён» (при очень большом $N$ численная проверка может принять медленное сближение за цикл).

Что легко понять неверно

• Чёрный означает «не вышло за $N$ шагов». Вблизи границы большее $N$ может сделать чёрные пиксели цветными.
• Тёмная окраска пыли и ветвей основана на оценке расстояния и не обозначает точки с ограниченными орбитами: для $c$ вне множества Мандельброта площадь $K_c$ равна 0.
• Пыль, всё ещё напоминающая знакомую фигуру (сразу за остриём), всё равно состоит из бесконечного числа частей.
• Параметр находится на плоскости c; орбита живёт на плоскости z.

История

Гастон Жюлиа и Пьер Фату разработали теорию итераций рациональных функций в 1918–1920 годах, ещё до компьютерных изображений [1, 2]. Карл Людвиг Зигель в 1942 году показал, что некоторые нейтральные неподвижные точки окружены дисками вращающихся орбит [3]. Компьютерные изображения начиная с 1980 года и работы Дуади и Хаббарда сделали эти множества широко известными [4].

Связанные понятия

Множество Мандельброта · Фрактал Ньютона (страница планируется) · Комплексные числа

Источники

1. G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
2. P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
3. C. L. Siegel, “Iteration of analytic functions”, Annals of Mathematics 43 (1942) 607–612. doi:10.2307/1968952
4. J. Milnor, Dynamics in One Complex Variable, 3rd ed., Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press (2006).

Дополнительные материалы: Википедия: Julia set (Английский); Архив истории математики MacTutor: Gaston Julia (Английский); Архив истории математики MacTutor: Pierre Fatou (Английский).