Julia kümesi

Bu görselleştirmede Julia kümesi

Sabit bir $c$ karmaşık sayısı için dolu Julia kümesi $K_c$, aşağıdaki dizinin sınırlı kaldığı $z_0$ başlangıç değerlerinin kümesidir; $|z_n| > \max(2, |c|)$ olur olmaz sonsuza kaçar. Julia kümesi $J_c$, $K_c$ sınırıdır: her noktasına istenildiği kadar yakın hem kaçan hem de kaçmayan başlangıç değerleri vardır.

İki görsel ne gösteriyor?

z düzlemi, büyük görsel: her nokta, yörüngesinin ne kadar çabuk kaçtığına göre renklendirilmiş bir $z_0$ başlangıç değeridir. Yumuşak renklendirme yalnızca gösterim içindir. Siyah, “$N$ yineleme sınırı içinde kaçmadı” demektir; bu sayısal bir karardır. Toz örnekleri ve $c = i$ dendriti alan içermez; bu nedenle neredeyse her piksel kaçar. Kümeyi görebilmeniz için uzaklık tahminiyle $K_c$ kümesine yarım pikselden yakın noktalar da koyulaştırılır; bu da yalnızca gösterim içindir.

c düzlemi, paneldeki ekran: sayfanın $c$ değerinde kırmızı artı bulunan Mandelbrot kümesi. $c$ değerini değiştirmek için artıyı sürükleyin veya bir noktaya tıklayın. Büyük görseldeki sarı noktalar 0'ın (veya tıkladığınız başlangıç noktasının) yörüngesidir.

Neden böyle görünüyor?

Kırmızı tuş $n = 1, 2, 3, \ldots$ için $|z_n| \le R$, $R = \max(2, |c|)$ koşullu başlangıç değerlerini çizer: her bölge öncekinin içinde olup $K_c$ kümesine yaklaşır. Her bölge $z \mapsto z^2 + c$ altında öncekinin ters görüntüsüdür; bir diskin ters görüntüsü, tam olarak disk $c$ kritik değerini içerdiğinde tek parçadır. Dolayısıyla 0'ın yörüngesi $R$ içinde kaldığı sürece bölgeler tek parça kalır. Dışarı çıktığı adımdan sonra 2, sonra 4, 8, … parçaya ayrılırlar.

Bu, $z^2 + c$ için Fatou ve Julia teoremidir [1, 2]: 0'ın yörüngesi sınırlıyken $K_c$ bağlantılıdır; kaçtığında tamamen bağlantısız bir “toz” (Cantor kümesi) olur. Mandelbrot kümesi tam olarak $K_c$ bağlantılı olan $c$ değerlerinin kümesidir.

Çekici döngü her zaman 0'ın yörüngesini çeker; bu yüzden $z^2 + c$ en fazla bir taneye sahiptir. $K_c$ içindeki siyah bölge bu döngüye akar. $c = 1/4$ sivri ucunda ve $c = -3/4$ değerinde döngü bunun yerine paraboliktir. Ana kardiyoidin altın oran noktasında sabit noktayı, yörüngelerin sonsuza dek döndüğü bir Siegel diski çevreler [3]. Bu durumlarda çekici döngü yoktur; varsayılan ayarlarda sayfanın periyot okuması “belirlenemedi” der (çok büyük $N$ ile sayısal kontrol, yavaş yaklaşmayı döngü sanabilir).

Yanlış yorumlamaya açık noktalar

• Siyah, “$N$ adımda kaçmadı” demektir. Sınıra yakın yerlerde daha büyük $N$, siyah pikselleri renkliye çevirebilir.
• Tozun ve dalların koyu gölgesi sınırlı kalan noktalar değil, uzaklık tahminidir: Mandelbrot kümesinin dışındaki $c$ için $K_c$ alanı 0'dır.
• Hâlâ tanıdık bir şekle benzeyen toz (sivri ucun hemen ötesinde), yine de sonsuz sayıda parçadan oluşur.
• c düzlemi parametreyi içerir; yörünge z düzlemindedir.

Tarihçe

Gaston Julia ve Pierre Fatou, bilgisayar görselleri henüz yokken, 1918–1920'de rasyonel fonksiyonların yinelenme kuramını geliştirdiler [1, 2]. Carl Ludwig Siegel 1942'de bazı nötr sabit noktaların, dönen yörüngelerden oluşan disklerle çevrildiğini gösterdi [3]. 1980'den itibaren bilgisayar görselleri ve Douady ile Hubbard'ın çalışmaları kümeleri yaygın biçimde tanıttı [4].

İlgili kavramlar

Mandelbrot kümesi · Newton fraktalı (sayfa planlanıyor) · Karmaşık sayılar

Kaynaklar

1. G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
2. P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
3. C. L. Siegel, “Iteration of analytic functions”, Annals of Mathematics 43 (1942) 607–612. doi:10.2307/1968952
4. J. Milnor, Dynamics in One Complex Variable, 3rd ed., Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press (2006).

Ek okumalar: Vikipedi: Julia set (İngilizce); MacTutor Matematik Tarihi: Gaston Julia (İngilizce); MacTutor Matematik Tarihi: Pierre Fatou (İngilizce).