Himpunan Julia

Himpunan Julia dalam visualisasi ini

Untuk bilangan kompleks tetap $c$, himpunan Julia terisi $K_c$ adalah himpunan nilai awal $z_0$ yang membuat barisan di bawah tetap terbatas; begitu $|z_n| > \max(2, |c|)$, barisan menuju tak hingga. Himpunan Julia $J_c$ adalah batas $K_c$: sedekat apa pun dengan tiap titiknya, terdapat nilai awal yang lolos dan nilai awal yang tidak lolos.

Apa yang ditampilkan kedua gambar

Bidang z, gambar besar: setiap titik adalah nilai awal $z_0$, diwarnai menurut seberapa cepat orbitnya lolos. Pewarnaan mulus hanya untuk tampilan. Hitam berarti “tidak lolos dalam batas iterasi $N$” — keputusan numerik. Sorotan debu dan dendrit $c = i$ tidak memiliki luas, jadi hampir setiap piksel di sana lolos; titik yang diperkirakan berjarak kurang dari setengah piksel dari $K_c$ juga diarsir gelap agar dapat terlihat: ini juga hanya untuk tampilan.

Bidang c, layar pada panel: himpunan Mandelbrot, dengan tanda silang merah pada $c$ halaman ini. Seret tanda silang, atau klik suatu titik, untuk mengubah $c$. Titik kuning pada gambar besar adalah orbit 0 (atau titik awal yang Anda klik).

Mengapa bentuknya demikian

Tombol merah menggambar nilai awal dengan $|z_n| \le R$, $R = \max(2, |c|)$, untuk $n = 1, 2, 3, \ldots$: setiap daerah di dalam daerah sebelumnya, makin mendekati $K_c$. Tiap daerah adalah prabayangan daerah sebelumnya di bawah $z \mapsto z^2 + c$, dan prabayangan cakram tersambung tepat saat cakram memuat nilai kritis $c$. Jadi daerah tetap tersambung selama orbit 0 tetap di dalam $R$; sejak langkah orbit keluar, daerah terbelah menjadi 2, lalu 4, 8, … bagian.

Itulah teorema Fatou dan Julia [1, 2] untuk $z^2 + c$: $K_c$ terhubung saat orbit 0 terbatas, dan berupa “debu” terputus total (himpunan Cantor) saat orbitnya lolos. Himpunan Mandelbrot tepat merupakan himpunan $c$ yang membuat $K_c$ terhubung.

Siklus penarik selalu menarik orbit 0, jadi $z^2 + c$ memiliki paling banyak satu: interior hitam $K_c$ mengalir ke arahnya. Pada titik lancip $c = 1/4$ dan pada $c = -3/4$, siklusnya bersifat parabolik; pada titik rasio emas kardioid utama, titik tetap dikelilingi cakram Siegel, tempat orbit berputar selamanya [3]. Dalam kasus-kasus itu tidak ada siklus penarik; pada pengaturan bawaan, bacaan periode menampilkan “belum ditentukan” (dengan $N$ sangat besar, pemeriksaan numerik dapat keliru menganggap pendekatan lambat sebagai siklus).

Mudah disalahartikan

• Hitam berarti “tidak lolos dalam $N$ langkah”. Di dekat tepi, $N$ yang lebih besar dapat mengubah piksel hitam menjadi berwarna.
• Arsiran gelap debu dan cabang adalah estimasi jarak, bukan titik yang tetap terbatas: untuk $c$ di luar himpunan Mandelbrot, $K_c$ berluas 0.
• Debu yang masih menyerupai bentuk akrab (tepat di luar titik lancip) tetap terdiri dari tak terhingga banyak bagian.
• Bidang c memuat parameter; orbit berada pada bidang z.

Sejarah

Gaston Julia dan Pierre Fatou mengembangkan teori iterasi fungsi rasional pada 1918–1920, sebelum ada gambar komputer [1, 2]. Carl Ludwig Siegel menunjukkan pada 1942 bahwa beberapa titik tetap netral dikelilingi cakram orbit yang berputar [3]. Gambar komputer sejak 1980, serta karya Douady dan Hubbard, membuat himpunan ini dikenal luas [4].

Konsep terkait

Himpunan Mandelbrot · Fraktal Newton (halaman direncanakan) · Bilangan kompleks

Referensi

1. G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
2. P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
3. C. L. Siegel, “Iteration of analytic functions”, Annals of Mathematics 43 (1942) 607–612. doi:10.2307/1968952
4. J. Milnor, Dynamics in One Complex Variable, 3rd ed., Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press (2006).

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Julia set (Bahasa Inggris); MacTutor: Sejarah Matematika: Gaston Julia (Bahasa Inggris); MacTutor: Sejarah Matematika: Pierre Fatou (Bahasa Inggris).