كسيرية نيوتن

تبحث طريقة نيوتن عن جذر لكثيرة حدود $p$ بتكرار خطوة واحدة انطلاقًا من نقطة بدء $z_0$:

كل بكسل في الصورة هو نقطة بدء في المستوى العقدي. ويأخذ لون الجذر الذي يدخل قرصه أولًا. صلاحية كل قرص مثبتة بالبرهان: وفق مبرهنة γ لسميل، تتقارب طريقة نيوتن من أي نقطة بدء داخله إلى الجذر المعني، لذا لا يكون اللون أبدًا تخمينًا مبنيًّا على «أي الجذور أقرب». حول جذر بسيط $\zeta$، يكون نصف قطر القرص $(3-\sqrt7)/(2\gamma)$، حيث $\gamma = \max_{k\ge2}\bigl|p^{(k)}(\zeta)/(k!\,p'(\zeta))\bigr|^{1/(k-1)}$.

يمثّل التظليل عدد الخطوات التي تحتاجها نقطة بدء للوصول إلى قرص؛ وتختلف معالجة الدرجات الفاتحة والداكنة بحسب المظهر المختار. تحدّد الخطوط الرفيعة أطراف «نقاط البدء التي تصل إلى قرص خلال k خطوة» — وهي المستويات التي يعرضها الزر الأحمر واحدًا تلو الآخر. لا يعني الأسود سوى أن نقطة بدء لم تدخل أي قرص خلال الخطوات المجرَّبة. التظليل الناعم والتوهج على امتداد الحد والسلك الذهبي في مظهر «مذهّب» هي مؤثرات عرض فقط؛ أما الجذر الذي يبلغه البكسل، وعدد الخطوات اللازمة، فهما نتيجتان عدديتان لحسابات بدقة 32 بت.

حوض الجذب الكامل لجذر هو جميع نقاط البدء التي تبلغه في النهاية، بما فيها الأجزاء الصغيرة البعيدة عنه. لكل هذه الأحواض الحد نفسه: مجموعة جوليا للتحويل $N$. لذا توجد، على مسافة قريبة كيفما نشاء من أي نقطة على الحد، نقاط بدء تتجه إلى كل جذر. لهذا تتناوب الألوان عند كل مقياس، ولهذا يُظهر خيار «أظهر حوض جذب جذر واحد كاملًا» الحوض في كل خرزة على امتداد الحد.

قرب هذا الحد، يمكن لبضع خطوات من طريقة نيوتن أن تباعد كثيرًا بين نقاط بدء متجاورة. في المثال البارز «فاصل ضئيل»، تفصل بين نقطتي بدء لكثيرة الحدود $z^3-1$ مسافة 0.02، وتصبح المسافة 0.047 بعد خطوة واحدة و0.268 بعد خطوتين؛ وتدخلان قرصي جذرين مختلفين عند الخطوتين 6 و7.

مع جذرين فقط تكون الصورة بسيطة: الحد هو المنصف العمودي بين الجذرين. في الإحداثي $w = (z-1)/(z+1)$ (الجذران عند ±1)، تصبح خطوة نيوتن $w \mapsto w^2$. ومع جذر ثالث يصبح الحد كسيريًّا.

لكثيرة الحدود $p(z) = z^3 - 2z + 2$، تنتقل نقطة البدء 0 إلى 1 ثم تعود إلى 0 إلى الأبد: دورة مضاعِفها $N'(0)\,N'(1)$ يساوي 0، لذا تنجذب إليها أيضًا كل نقطة بدء قريبة بما يكفي. تشكّل تلك النقاط الجزر السوداء؛ وهي لا تبلغ أي جذر أبدًا.

أين يمكن أن تظهر مثل هذه الدورات؟ تنعدم $N' = p\,p''/p'^2$ عند كل جذر، لذا يكون كل جذر نقطة حرجة للتحويل $N$ ويقع في حوض جذبه الخاص. أما النقاط الحرجة الأخرى — النقاط الحرجة الحرة — فهي أصفار $p''$ التي ليست جذورًا؛ وحيث تنعدم $p'$ أيضًا، يكون للتحويل $N$ قطب متعدد هناك، وهو يظل نقطة حرجة، ويُرسَل إلى ∞. وفق مبرهنة لفاتو، تجذب كل دورة جاذبة نقطة حرجة واحدة على الأقل. لا يمكن لدورة ليست جذرًا أن تجذب جذرًا، إذ يبقى في حوض جذبه الخاص، لذا لا بد أن تجذب نقطة حرجة حرة. ومن ثم يمكن لتتبّع النقاط الحرجة الحرة أن يكشف هذه الإخفاقات. تستخدم القائمة تقريبات عددية؛ فإذا تعذّر فصل الأصفار بموثوقية، تُبلّغ عنها بوصفها غير محسومة بدلًا من الجزم بوجود نقطة متعددة أو قطب. ولا يصح العكس: لكثيرة الحدود $z^3-1$، تكون النقطة الحرجة الحرة 0 أيضًا صفرًا لـ $p'$؛ وتُرسَل إلى ∞، وهي نقطة ثابتة طاردة للتحويل $N$، ولا توجد جزر سوداء.

مع ثلاثة جذور، يكون لـ $p''$ صفر واحد، هو مركز ثقل الجذور؛ وما لم يكن جذرًا هو نفسه (كما في $z^3-z$)، فهو النقطة الحرجة الحرة الوحيدة. النافذة المصغّرة خريطة لمواضع الجذر المحدَّد، مع ثبات الجذرين الآخرين: تأخذ كل نقطة لون الجذر الذي يدخل مدار مركز الثقل قرصه المضمون بالبرهان عندما يوضع الجذر المحدَّد هناك، والأسود إن لم يدخل أي قرص خلال 300 خطوة. في هذه العائلة من كثيرات الحدود التكعيبية، تُظهر الكتل السوداء نسخًا صغيرة من بنية مجموعة ماندلبروت، شاهدها أول مرة في تجارب حاسوبية كاري وغارنيت وسوليفان (1983). اسحب الجذر المحدَّد عبر إحداها فتظهر الجزر السوداء في الصورة وتختفي. عند تحريك الجذر 1 لكثيرة الحدود $z^3-2z+2$ يسارًا على المحور الحقيقي عبر كتلته (المثال البارز «عبر الكتلة السوداء»)، يتضاعف دور الدورة، ⁦2 → 4 → 8⁩، عند نحو −1.8045 و−1.832 (عدديًّا) — كما على المحور الحقيقي لمجموعة ماندلبروت.

سأل آرثر كايلي عام 1879 أيَّ جذر تجد طريقة نيوتن انطلاقًا من نقطة بدء عقدية معيّنة؛ وحسم حالة الجذرين ووجد حالة الجذور الثلاثة صعبة. وبنى بيير فاتو وغاستون جوليا نظرية تكرار التحويلات الكسرية نحو 1918–1920، قبل الصور الحاسوبية بزمن طويل. ظهرت صور أحواض نيوتن، والبنية الشبيهة بمجموعة ماندلبروت في فضاء معلماتها، في أوائل ثمانينيات القرن العشرين؛ وتوفّر تقديرات ستيف سميل (1986) الأقراص المضمونة بالبرهان المستخدمة هنا.