Fractal de Newton

El método de Newton busca una raíz de un polinomio $p$ repitiendo un paso desde un punto inicial $z_0$:

Cada píxel de la imagen es un punto inicial del plano complejo. Toma el color de la raíz en cuyo disco entra primero. Cada disco está certificado: por el teorema γ de Smale, el método de Newton converge a esa raíz desde cualquier punto inicial de su interior, así que el color nunca es una conjetura basada en «qué raíz está más cerca». Alrededor de una raíz simple $\zeta$, el disco tiene radio $(3-\sqrt7)/(2\gamma)$, donde $\gamma = \max_{k\ge2}\bigl|p^{(k)}(\zeta)/(k!\,p'(\zeta))\bigr|^{1/(k-1)}$.

El sombreado representa cuántos pasos necesita un punto inicial para alcanzar un disco; el tratamiento de luces y sombras varía según el estilo elegido. Las líneas finas marcan los bordes de «los puntos iniciales que alcanzan un disco en un máximo de k pasos»: los niveles que el botón rojo muestra uno a uno. El negro solo significa que un punto inicial no ha entrado en ningún disco en los pasos probados. El sombreado suave, el resplandor a lo largo de la frontera y el filamento dorado del estilo Dorado son solo efectos visuales; a qué raíz va un píxel y en cuántos pasos son resultados numéricos de cálculos de 32 bits.

La cuenca completa de una raíz está formada por todos los puntos iniciales que finalmente la alcanzan, incluidos los pequeños fragmentos alejados de la raíz. Todas estas cuencas tienen una misma frontera: el conjunto de Julia de la aplicación $N$. Por tanto, arbitrariamente cerca de cualquier punto de la frontera hay puntos iniciales que van a cada una de las raíces. Por eso los colores alternan a todas las escalas y por eso «solo la cuenca de una raíz» la muestra en cada cuenta a lo largo de la frontera.

Cerca de esta frontera, unos pocos pasos del método de Newton pueden alejar mucho dos puntos iniciales vecinos. En el ejemplo destacado «A un pelo de distancia», dos puntos iniciales separados por 0.02 para $z^3-1$ están a 0.047 de distancia tras un paso y a 0.268 tras dos; entran en los discos de raíces distintas en los pasos 6 y 7.

Con solo dos raíces, la imagen es sencilla: la frontera es la mediatriz de las dos raíces. En la coordenada $w = (z-1)/(z+1)$ (raíces en ±1), el paso de Newton se convierte en $w \mapsto w^2$. Con una tercera raíz, la frontera se vuelve fractal.

Para $p(z) = z^3 - 2z + 2$, el punto inicial 0 va a 1 y vuelve a 0 indefinidamente: un ciclo cuyo multiplicador $N'(0)\,N'(1)$ es 0, por lo que todo punto inicial suficientemente cercano también cae en él. Esos puntos iniciales forman las islas negras; nunca alcanzan una raíz.

¿Dónde pueden aparecer estos ciclos? $N' = p\,p''/p'^2$ se anula en cada raíz, así que cada raíz es un punto crítico de $N$ y permanece en su propia cuenca. Los demás puntos críticos —los puntos críticos libres— son los ceros de $p''$ que no son raíces; donde también se anula $p'$, $N$ tiene un polo múltiple, que sigue siendo un punto crítico y se envía a ∞. Por un teorema de Fatou, todo ciclo atractor atrae al menos un punto crítico. Un ciclo que no sea una raíz no puede atraer una raíz, que permanece en su propia cuenca, así que debe atraer un punto crítico libre. Por tanto, seguir los puntos críticos libres puede revelar estos fallos. La lista usa aproximaciones numéricas; si los ceros no pueden separarse de forma fiable, los indica como no resueltos en lugar de declarar un punto múltiple o un polo. El recíproco no se cumple: para $z^3-1$, el punto crítico libre 0 también es un cero de $p'$; se envía a ∞, un punto fijo repulsor de $N$, y no hay islas negras.

Con tres raíces, $p''$ tiene un cero, el centroide de las raíces; salvo que él mismo sea una raíz (como en $z^3-z$), es el único punto crítico libre. El recuadro es un mapa de posiciones para la raíz seleccionada, con las otras dos fijas: cada punto toma el color de la raíz en cuyo disco certificado entra la órbita del centroide al colocar allí la raíz seleccionada, y se muestra en negro si no entra en ninguno en 300 pasos. En esta familia de polinomios cúbicos, los bloques negros muestran pequeñas copias de la estructura del conjunto de Mandelbrot, observadas por primera vez en experimentos informáticos de Curry, Garnett y Sullivan (1983). Arrastra la raíz seleccionada a través de uno de ellos y las islas negras de la imagen aparecerán y desaparecerán. Al mover la raíz 1 de $z^3-2z+2$ hacia la izquierda por el eje real a través de su bloque (el ejemplo destacado «A través del bloque negro»), el período del ciclo se duplica, 2 → 4 → 8, aproximadamente en −1.8045 y −1.832 (numéricamente), como a lo largo del eje real del conjunto de Mandelbrot.

Arthur Cayley se preguntó en 1879 qué raíz encuentra el método de Newton desde un punto inicial complejo dado; resolvió el caso de dos raíces y encontró difícil el de tres. Pierre Fatou y Gaston Julia desarrollaron la teoría de la iteración de aplicaciones racionales hacia 1918–1920, mucho antes de las imágenes por ordenador. Las imágenes de las cuencas de Newton y la estructura semejante al conjunto de Mandelbrot en su espacio de parámetros aparecieron a principios de la década de 1980; las estimaciones de Steve Smale (1986) proporcionan los discos certificados usados aquí.