Fraktal Newton

Metode Newton mencari akar polinom $p$ dengan mengulangi satu langkah dari titik awal $z_0$:

Setiap piksel pada gambar adalah titik awal pada bidang kompleks. Warnanya mengikuti akar yang cakramnya pertama kali dimasuki. Setiap cakram memiliki jaminan yang terbukti: menurut teorema γ Smale, metode Newton dari titik awal mana pun di dalamnya konvergen ke akar tersebut, sehingga warna tidak pernah sekadar tebakan berdasarkan “akar mana yang terdekat”. Di sekitar akar sederhana $\zeta$, cakram memiliki jari-jari $(3-\sqrt7)/(2\gamma)$, dengan $\gamma = \max_{k\ge2}\bigl|p^{(k)}(\zeta)/(k!\,p'(\zeta))\bigr|^{1/(k-1)}$.

Gradasi menunjukkan berapa banyak langkah yang diperlukan suatu titik awal untuk mencapai cakram; pengaturan terang dan gelap bervariasi menurut tampilan yang dipilih. Garis-garis tipis menandai batas “titik-titik awal yang mencapai cakram dalam k langkah” — tingkat-tingkat yang ditampilkan satu per satu oleh tombol merah. Hitam hanya berarti bahwa suatu titik awal belum memasuki cakram mana pun dalam langkah-langkah yang dicoba. Gradasi halus, cahaya di sepanjang batas, dan jalinan garis emas pada tampilan Sepuhan hanya merupakan efek tampilan; akar yang dituju oleh suatu piksel, serta jumlah langkahnya, adalah hasil numerik komputasi 32-bit.

Seluruh basin atraksi suatu akar mencakup setiap titik awal yang akhirnya mencapai akar tersebut, termasuk bagian-bagian kecil yang jauh dari akar. Semua basin atraksi ini memiliki batas yang sama: himpunan Julia dari pemetaan $N$. Jadi, sedekat apa pun dengan setiap titik batas, ada titik-titik awal yang menuju setiap akar. Itulah sebabnya warna-warna bergantian pada setiap skala, dan mengapa “hanya basin atraksi satu akar” memperlihatkannya di setiap manik di sepanjang batas.

Di dekat batas ini, beberapa langkah metode Newton dapat membuat titik-titik awal yang berdekatan menjadi berjauhan. Dalam sorotan “Berjarak sehelai rambut”, dua titik awal yang berjarak 0.02 pada $z^3-1$ menjadi berjarak 0.047 setelah satu langkah dan 0.268 setelah dua langkah; keduanya memasuki cakram akar yang berbeda pada langkah 6 dan 7.

Dengan hanya dua akar, gambarnya sederhana: batasnya berupa garis sumbu tegak lurus antara kedua akar. Dalam koordinat $w = (z-1)/(z+1)$ (akar pada ±1), langkah Newton menjadi $w \mapsto w^2$. Dengan akar ketiga, batasnya menjadi fraktal.

Untuk $p(z) = z^3 - 2z + 2$, titik awal 0 menuju 1 lalu kembali ke 0 selamanya: suatu siklus yang pengalinya $N'(0)\,N'(1)$ bernilai 0, sehingga setiap titik awal yang cukup dekat dengannya juga terperangkap di dalamnya. Titik-titik awal itu membentuk pulau-pulau hitam; titik-titik itu tidak pernah mencapai akar.

Di mana siklus seperti itu dapat muncul? $N' = p\,p''/p'^2$ bernilai nol pada setiap akar, sehingga setiap akar adalah titik kritis $N$ dan berada dalam basin atraksinya sendiri. Titik kritis lainnya — titik kritis bebas — adalah titik-titik nol $p''$ yang bukan akar; di tempat $p'$ juga bernilai nol, $N$ memiliki kutub berlipat, yang tetap merupakan titik kritis dan dipetakan ke ∞. Menurut teorema Fatou, setiap siklus yang bersifat menarik akan menarik setidaknya satu titik kritis. Siklus yang bukan akar tidak dapat menarik suatu akar, yang tetap berada dalam basin atraksinya sendiri, sehingga siklus itu harus menarik titik kritis bebas. Karena itu, mengikuti titik-titik kritis bebas dapat mengungkap kegagalan-kegagalan ini. Daftar ini menggunakan pendekatan numerik; jika titik-titik nol tidak dapat dipisahkan secara andal, daftar melaporkannya sebagai belum dapat dipastikan, bukan menyatakannya sebagai titik berlipat atau kutub. Kebalikannya tidak berlaku: untuk $z^3-1$, titik kritis bebas 0 juga merupakan titik nol $p'$; titik itu dipetakan ke ∞, suatu titik tetap yang menolak dari $N$, dan tidak ada pulau-pulau hitam.

Dengan tiga akar, $p''$ memiliki satu titik nol, yaitu titik pusat massa akar-akar tersebut; kecuali jika titik itu sendiri merupakan akar (seperti pada $z^3-z$), titik itu adalah satu-satunya titik kritis bebas. Gambar sisipan merupakan peta posisi untuk akar yang dipilih, dengan dua akar lainnya tetap: setiap titik diberi warna sesuai akar yang cakram terjaminnya dimasuki oleh orbit titik pusat massa ketika akar yang dipilih diletakkan di sana, dan hitam jika orbit itu tidak memasuki cakram mana pun dalam 300 langkah. Dalam keluarga polinom kubik ini, blok-blok hitam memperlihatkan salinan kecil struktur himpunan Mandelbrot, yang pertama kali terlihat dalam eksperimen komputer oleh Curry, Garnett, dan Sullivan (1983). Seret akar yang dipilih melalui salah satunya, dan pulau-pulau hitam pada gambar muncul lalu menghilang. Ketika akar 1 dari $z^3-2z+2$ digerakkan ke kiri sepanjang sumbu real melalui bloknya (sorotan “Melalui blok hitam”), periode siklus berlipat dua, 2 → 4 → 8, di sekitar −1.8045 dan −1.832 (secara numerik) — seperti di sepanjang sumbu real himpunan Mandelbrot.

Pada 1879, Arthur Cayley bertanya akar mana yang ditemukan metode Newton dari suatu titik awal kompleks; ia menyelesaikan kasus dua akar dan mendapati kasus tiga akar sulit. Pierre Fatou dan Gaston Julia membangun teori iterasi pemetaan rasional sekitar 1918–1920, jauh sebelum adanya gambar komputer. Gambar basin atraksi Newton, serta struktur mirip Mandelbrot dalam ruang parameternya, muncul pada awal 1980-an; estimasi Steve Smale (1986) memberikan cakram terjamin yang digunakan di sini.