뉴턴 프랙털

뉴턴법은 시작점 $z_0$에서 다음 단계를 반복해 다항식 $p$의 근을 찾습니다:

그림의 모든 픽셀은 복소평면의 시작점입니다. 각 픽셀은 처음 들어가는 원판에 해당하는 근의 색을 띱니다. 각 원판에는 수렴이 증명되어 있습니다. 스메일의 γ 정리에 따라 원판 안의 어느 시작점에서 뉴턴법을 시작해도 해당 근으로 수렴하므로, 색은 결코 “어느 근이 가장 가까운가”를 추측한 결과가 아닙니다. 단순근 $\zeta$ 주변의 원판 반지름은 $(3-\sqrt7)/(2\gamma)$이며, 여기서 $\gamma = \max_{k\ge2}\bigl|p^{(k)}(\zeta)/(k!\,p'(\zeta))\bigr|^{1/(k-1)}$입니다.

명암은 시작점이 원판에 도달하는 데 필요한 단계 수를 나타냅니다. 밝고 어둡게 표현하는 방식은 선택한 스타일에 따라 달라집니다. 가는 선은 “k단계 안에 원판에 도달하는 시작점들”의 경계를 표시하며, 빨간 버튼이 하나씩 보여 주는 단계에 해당합니다. 검정은 시도한 단계 안에 시작점이 어떤 원판에도 들어가지 않았다는 뜻일 뿐입니다. 부드러운 명암, 경계를 따라 나는 빛, 금장 스타일의 금빛 선은 시각적 효과일 뿐입니다. 픽셀이 어느 근으로 향하는지, 몇 단계가 걸리는지는 32비트 계산의 수치적 결과입니다.

한 근의 전체 흡인 영역은 결국 그 근에 도달하는 모든 시작점으로 이루어지며, 근에서 멀리 떨어진 작은 조각들도 포함합니다. 이 흡인 영역들은 모두 동일한 경계를 가집니다. 바로 사상 $N$의 쥘리아 집합입니다. 따라서 어느 경계점에나 임의로 가까운 곳에 각 근으로 향하는 시작점들이 있습니다. 이 때문에 모든 축척에서 색이 번갈아 나타나며, “한 근의 전체 흡인 영역 표시”를 선택해도 경계를 따라 늘어선 모든 구슬 모양 조각에서 그 영역을 볼 수 있습니다.

이 경계 근처에서는 뉴턴법의 몇 단계만으로도 이웃한 시작점들이 멀리 떨어질 수 있습니다. 주요 예시 “아주 가까운 두 점”에서는 $z^3-1$에 대해 거리가 0.02인 두 시작점이 한 단계 후에는 0.047, 두 단계 후에는 0.268만큼 떨어집니다. 두 점은 6단계와 7단계에서 서로 다른 근의 원판에 들어갑니다.

근이 두 개뿐이면 그림은 단순합니다. 경계는 두 근을 잇는 선분의 수직이등분선입니다. 좌표 $w = (z-1)/(z+1)$에서 (근은 ±1) 뉴턴법의 한 단계는 $w \mapsto w^2$이 됩니다. 세 번째 근이 있으면 경계는 프랙털이 됩니다.

$p(z) = z^3 - 2z + 2$에서 시작점 0은 1로 갔다가 0으로 돌아오는 움직임을 영원히 반복합니다. 이 주기 궤도의 승수 $N'(0)\,N'(1)$은 0이므로, 충분히 가까운 모든 시작점도 이 궤도에 빠집니다. 이 시작점들이 검은 섬을 이루며, 근에는 결코 도달하지 않습니다.

이런 주기 궤도는 어디에 나타날 수 있을까요? $N' = p\,p''/p'^2$은 모든 근에서 0이 되므로, 각 근은 $N$의 임계점이며 자신의 흡인 영역 안에 있습니다. 나머지 임계점, 즉 자유 임계점은 근이 아닌 $p''$의 영점입니다. $p'$도 0이 되는 곳에서는 $N$이 다중 극점을 가지며, 이 점 역시 임계점으로서 ∞로 보내집니다. 파투의 정리에 따르면 모든 흡인 주기 궤도는 적어도 하나의 임계점을 끌어당깁니다. 근이 아닌 주기 궤도는 자신의 흡인 영역에 머무르는 근을 끌어당길 수 없으므로, 자유 임계점을 끌어당겨야 합니다. 따라서 자유 임계점을 추적하면 이런 실패를 발견할 수 있습니다. 목록은 수치적 근삿값을 사용합니다. 영점들을 신뢰할 수 있게 구분할 수 없으면, 다중점이나 극점이라고 단정하지 않고 판별되지 않은 것으로 표시합니다. 역은 성립하지 않습니다. $z^3-1$의 자유 임계점 0은 $p'$의 영점이기도 합니다. 이 점은 $N$의 반발 고정점인 ∞로 보내지며, 검은 섬은 없습니다.

근이 세 개이면 $p''$의 영점은 하나이며, 근들의 무게중심입니다. 이 점 자체가 근인 경우 ($z^3-z$처럼)를 제외하면, 유일한 자유 임계점입니다. 삽입 지도는 다른 두 근을 고정하고 선택한 근의 위치를 나타낸 지도입니다. 각 점은 선택한 근을 그곳에 놓았을 때 무게중심의 궤도가 들어가는 수렴이 증명된 원판에 해당하는 근의 색을 띠며, 300단계 안에 어떤 원판에도 들어가지 않으면 검정으로 표시됩니다. 이 삼차 다항식 계열에서 검은 블록들은 만델브로 집합 구조의 작은 복사본을 보여 줍니다. 이는 Curry, Garnett, Sullivan이 1983년 컴퓨터 실험에서 처음 관찰했습니다. 선택한 근을 이런 블록 안팎으로 드래그하면 그림의 검은 섬들이 나타났다가 사라집니다. $z^3-2z+2$의 근 1을 실수축을 따라 왼쪽으로 이동시켜 해당 블록을 통과하게 하면 (주요 예시 “검은 블록 통과”), 수치적으로 약 −1.8045와 −1.832에서 궤도의 주기가 2 → 4 → 8로 배가됩니다. 만델브로 집합의 실수축에서와 같습니다.

아서 케일리는 1879년에 주어진 복소 시작점에서 뉴턴법이 어느 근을 찾는지 물었습니다. 그는 두 근의 경우를 해결했지만 세 근의 경우는 어렵다고 보았습니다. 피에르 파투와 가스통 쥘리아는 컴퓨터 그림이 등장하기 훨씬 전인 1918–1920년경에 유리 사상의 반복 이론을 세웠습니다. 뉴턴법의 흡인 영역 그림과 그 매개변수 공간의 만델브로 집합 같은 구조는 1980년대 초에 등장했습니다. 스티브 스메일의 추정식 (1986)은 여기서 사용하는 수렴이 증명된 원판을 제공합니다.