Frattale di Newton

Il metodo di Newton cerca una radice di un polinomio $p$ ripetendo un passo a partire da un punto iniziale $z_0$:

Ogni pixel dell’immagine è un punto iniziale nel piano complesso. Assume il colore della radice nel cui disco entra per primo. Ogni disco è certificato: per il teorema γ di Smale, il metodo di Newton converge a quella radice da qualsiasi punto iniziale al suo interno, quindi un colore non è mai una supposizione basata su “quale radice è più vicina”. Attorno a una radice semplice $\zeta$ il disco ha raggio $(3-\sqrt7)/(2\gamma)$, dove $\gamma = \max_{k\ge2}\bigl|p^{(k)}(\zeta)/(k!\,p'(\zeta))\bigr|^{1/(k-1)}$.

La sfumatura rappresenta quanti passi servono a un punto iniziale per raggiungere un disco; il trattamento di luci e ombre varia con l’aspetto scelto. Le linee sottili delimitano “i punti iniziali che raggiungono un disco entro k passi” — i livelli che il tasto rosso mostra uno alla volta. Il nero significa soltanto che un punto iniziale non è entrato in alcun disco entro i passi tentati. La sfumatura continua, il bagliore lungo la frontiera e il filo dorato dell’aspetto Dorato sono solo effetti visivi; la radice verso cui va un pixel e il numero di passi necessari sono risultati numerici di calcoli a 32 bit.

L’intero bacino di una radice comprende tutti i punti iniziali che prima o poi la raggiungono, inclusi i piccoli frammenti lontani dalla radice. Tutti questi bacini hanno la stessa frontiera: l’insieme di Julia della mappa $N$. Quindi, arbitrariamente vicino a qualsiasi punto della frontiera, ci sono punti iniziali che vanno verso ciascuna radice. Ecco perché i colori si alternano a ogni scala e perché “solo il bacino di una radice” lo mostra in ogni perla lungo la frontiera.

Vicino a questa frontiera, pochi passi del metodo di Newton possono allontanare molto punti iniziali vicini. Nell’esempio “A un soffio di distanza”, due punti iniziali distanti 0.02, per il polinomio $z^3-1$, distano 0.047 dopo un passo e 0.268 dopo due; entrano nei dischi di radici diverse ai passi 6 e 7.

Con due sole radici l’immagine è semplice: la frontiera è l’asse del segmento che unisce le due radici. Nella coordinata $w = (z-1)/(z+1)$ (radici in ±1), il passo di Newton diventa $w \mapsto w^2$. Con una terza radice la frontiera diventa un frattale.

Per $p(z) = z^3 - 2z + 2$ il punto iniziale 0 va a 1 e torna a 0 per sempre: un ciclo il cui moltiplicatore $N'(0)\,N'(1)$ è 0, quindi anche ogni punto iniziale sufficientemente vicino ne viene attratto. Questi punti iniziali formano le isole nere; non raggiungono mai una radice.

Dove possono comparire questi cicli? $N' = p\,p''/p'^2$ si annulla in ogni radice, quindi ogni radice è un punto critico di $N$ e appartiene al proprio bacino. Gli altri punti critici — i punti critici liberi — sono gli zeri di $p''$ che non sono radici; dove si annulla anche $p'$, $N$ ha un polo multiplo, ancora un punto critico, mandato a ∞. Per un teorema di Fatou, ogni ciclo attrattivo attrae almeno un punto critico. Un ciclo che non è una radice non può attrarre una radice, che resta nel proprio bacino, quindi deve attrarre un punto critico libero. Seguire i punti critici liberi può dunque rivelare questi insuccessi. L’elenco usa approssimazioni numeriche; se gli zeri non possono essere separati in modo affidabile, li segnala come indeterminati anziché dichiarare un punto multiplo o un polo. Il viceversa non vale: per $z^3-1$ il punto critico libero 0 è anche uno zero di $p'$; viene mandato a ∞, un punto fisso repulsivo di $N$, e non ci sono isole nere.

Con tre radici, $p''$ ha un solo zero, il baricentro delle radici; a meno che non sia esso stesso una radice (come per $z^3-z$), è l’unico punto critico libero. Il riquadro è una mappa delle posizioni della radice selezionata, con le altre due fisse: ogni punto assume il colore della radice nel cui disco certificato entra l’orbita del baricentro quando la radice selezionata viene collocata lì, e il nero se non entra in alcun disco entro 300 passi. In questa famiglia di polinomi cubici i blocchi neri mostrano piccole copie della struttura dell’insieme di Mandelbrot, osservate per la prima volta negli esperimenti al computer di Curry, Garnett e Sullivan (1983). Trascina la radice selezionata attraverso uno di questi blocchi e le isole nere nell’immagine compaiono e scompaiono. Spostando la radice 1 di $z^3-2z+2$ verso sinistra lungo l’asse reale attraverso il suo blocco (l’esempio “Attraverso il blocco nero”), il periodo del ciclo raddoppia, 2 → 4 → 8, circa a −1.8045 e −1.832 (numericamente) — come lungo l’asse reale dell’insieme di Mandelbrot.

Nel 1879 Arthur Cayley si chiese quale radice trovasse il metodo di Newton a partire da un dato punto iniziale complesso; risolse il caso di due radici e trovò difficile quello di tre. Pierre Fatou e Gaston Julia svilupparono la teoria dell’iterazione delle mappe razionali intorno al 1918–1920, molto prima delle immagini al computer. Le immagini dei bacini di Newton e la struttura simile a quella di Mandelbrot nel loro spazio dei parametri apparvero nei primi anni 1980; le stime di Steve Smale (1986) forniscono i dischi certificati usati qui.