牛頓碎形

牛頓法從起始點 $z_0$ 出發，反覆執行以下步驟，尋找多項式 $p$ 的根：

圖中的每個像素都是複平面上的一個起始點。它最先進入哪個根的圓盤，就取該根的顏色。每個圓盤都有證明保證：依 Smale 的 γ 定理，從盤內任意起始點開始的牛頓法都會收斂至該根，因此顏色絕不是根據「哪個根最近」來猜測的。在單根 $\zeta$ 周圍，圓盤半徑為 $(3-\sqrt7)/(2\gamma)$，其中 $\gamma = \max_{k\ge2}\bigl|p^{(k)}(\zeta)/(k!\,p'(\zeta))\bigr|^{1/(k-1)}$。

色彩明暗表示起始點需要多少步才能到達圓盤；明暗的呈現方式隨所選外觀而異。細線標示「k 步內到達圓盤的起始點」所形成區域的邊緣，也就是紅色按鈕逐一顯示的各層。黑色僅表示起始點在已嘗試的步數內未進入任何圓盤。平滑的明暗、邊界上的光暈，以及「鍍金」外觀的金色線條，都只是顯示效果；像素會前往哪個根、需要多少步，則是 32 位元計算的數值結果。

一個根的完整吸引域，包含所有最終到達該根的起始點，也包括遠離該根的小片區域。所有這些吸引域都有完全相同的邊界：映射 $N$ 的朱利亞集合。因此，在任意邊界點的任意近處，都有前往各個根的起始點。這就是顏色在每個尺度上交錯出現的原因，也是選擇「顯示一個根的完整吸引域」時，沿邊界的每顆珠狀區域中都能看見它的原因。

在這個邊界附近，牛頓法只需幾步，就可能使相鄰的起始點相距甚遠。在精選示例「僅差一線」中，對 $z^3-1$ 而言，兩個相距 0.02 的起始點在一步後相距 0.047，兩步後相距 0.268；它們分別在第 6 步與第 7 步進入不同根的圓盤。

只有兩個根時，圖像很簡單：邊界就是兩個根的垂直平分線。在座標 $w = (z-1)/(z+1)$ 下（根位於 ±1），牛頓迭代步驟變成 $w \mapsto w^2$。加入第三個根後，邊界就成為碎形。

對 $p(z) = z^3 - 2z + 2$ 而言，起始點 0 會前往 1，再回到 0，如此永遠重複：這個循環的乘子 $N'(0)\,N'(1)$ 為 0，因此所有離它夠近的起始點也都會落入其中。這些起始點形成黑色島嶼；它們永遠不會到達根。

這樣的循環可能在哪裡出現？$N' = p\,p''/p'^2$ 在每個根處都為零，因此每個根都是 $N$ 的臨界點，且位於自己的吸引域內。其餘的臨界點，也就是自由臨界點，是 $p''$ 的零點中不屬於多項式根的那些點；若 $p'$ 在該處也為零，則 $N$ 在該處有多重極點，它仍是臨界點，並被映至 ∞。依 Fatou 的定理，每個吸引循環都至少吸引一個臨界點。不是根的循環無法吸引根，因為根會留在自己的吸引域內，所以它必須吸引某個自由臨界點。因此，追蹤自由臨界點可以揭示這些失效情況。列表使用數值近似；若無法可靠地區分零點，就會回報為尚無法確定，而不會斷言存在多重點或極點。反之則不成立：對 $z^3-1$ 而言，自由臨界點 0 也是 $p'$ 的零點；它被映至 ∞，即 $N$ 的排斥不動點，而圖中沒有黑色島嶼。

三個根時，$p''$ 有一個零點，就是各根的重心；除非重心本身就是根（如 $z^3-z$），否則它就是唯一的自由臨界點。小圖是所選根的位置圖，另外兩個根固定：把所選根放在某一點時，重心的軌道會進入哪個根的已證圓盤，該點就取該根的顏色；若 300 步內未進入任何圓盤，則為黑色。在這族三次多項式中，黑色區塊呈現曼德博集合結構的微小複本，最早由 Curry、Garnett 與 Sullivan（1983）在電腦實驗中觀察到。將所選根拖過其中一個區塊，主圖中的黑色島嶼就會出現、消失。將 $z^3-2z+2$ 的根 1 沿實軸向左移動、穿過其區塊（精選示例「穿越黑色區塊」）時，循環的週期會在約 −1.8045 與 −1.832 處倍增，2 → 4 → 8（數值結果），如同沿著曼德博集合的實軸移動。

Arthur Cayley 在 1879 年提出問題：從給定的複數起始點出發，牛頓法會找到哪個根？他解決了兩個根的情況，卻發現三個根很難處理。Pierre Fatou 與 Gaston Julia 約在 1918–1920 年間建立了有理映射迭代的理論，遠早於電腦圖像的出現。牛頓吸引域的圖像，以及其參數空間中類似曼德博集合的結構，在 1980 年代初期出現；Steve Smale 的估計（1986）則提供了此處使用的已證圓盤。