牛顿分形

牛顿法找多项式$p$的根，是从起点$z_0$出发反复做同一步：

画面上每个像素是复平面上的一个起点，按它最先进入哪个根的收敛圈上色。每个圈都有证明：按Smale的γ定理，从圈里任何一点出发，牛顿法都收敛到这个根，所以颜色不是按“离哪个根最近”猜的。单根$\zeta$的圈半径是$(3-\sqrt7)/(2\gamma)$，其中$\gamma = \max_{k\ge2}\bigl|p^{(k)}(\zeta)/(k!\,p'(\zeta))\bigr|^{1/(k-1)}$。

明暗表示进圈用的步数；明暗方向随所选风格而变。细线是“前k步能进圈的起点”这一区域的边，红键一级一级显示的正是这些区域。黑色只表示在试过的步数内没有进任何圈。平滑的明暗、分界上的光和景泰蓝风格的金丝都是显示加工；每个像素去哪个根、走了几步，是32位浮点计算的数值结果。

一个根的全吸引域是最终走到它的所有起点，包括离根很远的那些小块。所有根的全吸引域有同一条边界：牛顿映射$N$的朱利亚集。所以在分界上任何一点的任意小邻域里，都有走向每一个根的起点。这就是颜色在任何尺度上都交替出现的原因；“只看一个根的全吸引域”时，分界上每一颗小珠子里都有它。

在这条分界附近，牛顿法走几步就会把相邻的起点远远拉开。精选视角“两点只差一点”里，$z^3-1$上相距0.02的两个起点，一步后相距0.047，两步后0.268，分别在第6步和第7步进入不同根的圈。

只有两个根时图很简单：分界就是两根连线的垂直平分线。根取±1时，换成坐标$w = (z-1)/(z+1)$，牛顿法的一步就是$w \mapsto w^2$。加上第三个根，分界就成了分形。

对$p(z) = z^3 - 2z + 2$，从0出发会走到1，再回到0，永远往返：这个循环的乘子$N'(0)\,N'(1)$等于0，足够靠近它的起点也都落进它。这些起点就是画面上的黑岛，永远走不到根。

这样的循环会出现在哪里？$N' = p\,p''/p'^2$在每个根上等于0，所以每个根都是牛顿映射的临界点，而且就在它自己的吸引域里。其余的临界点叫非根临界点：$p''$不在根上的零点；如果$p'$在那里也等于0，牛顿映射在那里有一个多重极点，它仍是临界点，被送到∞。Fatou的一个定理说，每个吸引循环至少吸引一个临界点。不是根的吸引循环吸引不到根（根留在自己的吸引域里），所以一定吸引某个非根临界点。跟踪非根临界点，就能找到这类失败。列表用数值近似追踪这些点；零点太近、无法可靠分开时，会标为未判定，不把它们直接当成重临界点或极点。反过来不成立：$z^3-1$的非根临界点0同时是$p'$的零点，被送到∞（牛顿映射排斥的不动点），画面上并没有黑岛。

三个根时$p''$只有一个零点，就是三个根的重心；除非它本身就是根（比如$z^3-z$），它就是唯一的非根临界点。面板上的小屏是选中的根的位置图，另外两个根不动：每一点涂成“把选中的根放到这里后，重心的轨道进入哪个根的收敛圈（和大图同一套有证明的圈）”的颜色，300步内没进任何圈就涂黑。在这个三次多项式族里，黑块呈现出小的曼德博集合结构，Curry、Garnett和Sullivan在1983年的计算机实验中最早看到。把选中的根拖过一个黑块，大图上的黑岛会出现，然后消失。让$z^3-2z+2$的根1沿实轴往左穿过它的黑块（精选视角“穿过黑块”），循环的周期在约−1.8045和−1.832处（数值）从2变成4、再变成8，和曼德博集合的实轴上一样一次次加倍。

1879年，Arthur Cayley问：从复平面上给定的起点出发，牛顿法会找到哪个根？他解决了两个根的情形，发现三个根很难。1918–1920年前后，Pierre Fatou和Gaston Julia建立了有理映射迭代的理论，那时还没有计算机图像。牛顿法吸引域的图像，以及它的参数空间里类似曼德博集合的结构，出现在20世纪80年代初；Steve Smale在1986年的估计给出了本页使用的有证明的收敛圈。