Fractale de Newton

La méthode de Newton cherche une racine d’un polynôme $p$ en répétant une même étape depuis un point de départ $z_0$ :

Chaque pixel de l’image est un point de départ dans le plan complexe. Il prend la couleur de la racine dont il atteint le disque en premier. Chaque disque est certifié : d’après le théorème γ de Smale, la méthode de Newton converge vers cette racine depuis tout point de départ à l’intérieur du disque. Une couleur n’est donc jamais une supposition fondée sur « la racine la plus proche ». Autour d’une racine simple $\zeta$, le disque a pour rayon $(3-\sqrt7)/(2\gamma)$, où $\gamma = \max_{k\ge2}\bigl|p^{(k)}(\zeta)/(k!\,p'(\zeta))\bigr|^{1/(k-1)}$.

Les nuances représentent le nombre d’étapes nécessaires à un point de départ pour atteindre un disque ; le traitement des tons clairs et sombres varie selon l’aspect choisi. Les lignes fines délimitent « les points de départ qui atteignent un disque en au plus k étapes » — les niveaux que le bouton rouge révèle un par un. Le noir signifie uniquement qu’un point de départ n’est entré dans aucun disque au cours des étapes essayées. Les dégradés lisses, la lueur le long de la frontière et le fil d’or de l’aspect « Dorure » ne sont que des effets d’affichage ; la racine atteinte par un pixel et le nombre d’étapes nécessaires sont des résultats numériques de calculs sur 32 bits.

Le bassin entier d’une racine est l’ensemble des points de départ qui finissent par l’atteindre, y compris les petits morceaux éloignés de la racine. Tous ces bassins ont une seule et même frontière : l’ensemble de Julia de l’application $N$. Ainsi, arbitrairement près de tout point de la frontière, on trouve des points de départ allant vers chacune des racines. C’est pourquoi les couleurs alternent à toutes les échelles, et pourquoi l’affichage du « bassin d’une seule racine » le montre dans chaque perle le long de la frontière.

Près de cette frontière, quelques étapes de la méthode de Newton peuvent éloigner considérablement des points de départ voisins. Dans l’exemple « À un cheveu l’un de l’autre », deux points de départ distants de 0.02 pour $z^3-1$ sont distants de 0.047 après une étape et de 0.268 après deux ; ils entrent dans les disques de racines différentes aux étapes 6 et 7.

Avec seulement deux racines, l’image est simple : la frontière est la médiatrice des deux racines. Dans la coordonnée $w = (z-1)/(z+1)$ (racines en ±1), l’étape de Newton devient $w \mapsto w^2$. Avec une troisième racine, la frontière devient une fractale.

Pour $p(z) = z^3 - 2z + 2$, le point de départ 0 va en 1 puis revient en 0 indéfiniment : c’est un cycle dont le multiplicateur $N'(0)\,N'(1)$ vaut 0, si bien que tout point de départ suffisamment proche est lui aussi attiré par ce cycle. Ces points de départ forment les îlots noirs ; ils n’atteignent jamais une racine.

Où de tels cycles peuvent-ils apparaître ? $N' = p\,p''/p'^2$ s’annule en chaque racine ; chaque racine est donc un point critique de $N$ et se trouve dans son propre bassin. Les autres points critiques — les points critiques libres — sont les zéros de $p''$ qui ne sont pas des racines ; là où $p'$ s’annule également, $N$ a un pôle multiple, qui reste un point critique et est envoyé à ∞. D’après un théorème de Fatou, tout cycle attractif attire au moins un point critique. Un cycle qui n’est pas une racine ne peut pas attirer une racine, qui reste dans son propre bassin ; il doit donc attirer un point critique libre. Suivre les points critiques libres peut ainsi révéler ces échecs. La liste utilise des approximations numériques ; si les zéros ne peuvent pas être séparés de façon fiable, elle les signale comme indéterminés plutôt que de conclure à un point multiple ou à un pôle. La réciproque est fausse : pour $z^3-1$, le point critique libre 0 est également un zéro de $p'$ ; il est envoyé à ∞, un point fixe répulsif de $N$, et il n’y a aucun îlot noir.

Avec trois racines, $p''$ a un seul zéro, le centre de gravité des racines ; sauf s’il est lui-même une racine (comme pour $z^3-z$), c’est l’unique point critique libre. L’encart est une carte des positions de la racine sélectionnée, les deux autres restant fixes : chaque point prend la couleur de la racine dont l’orbite du centre de gravité atteint le disque certifié lorsque la racine sélectionnée est placée à cet endroit, et reste noir si elle n’en atteint aucun en 300 étapes. Dans cette famille de polynômes cubiques, les blocs noirs présentent de petites copies de la structure de l’ensemble de Mandelbrot, observées pour la première fois dans des expériences informatiques par Curry, Garnett et Sullivan (1983). Faites glisser la racine sélectionnée à travers l’un d’eux : les îlots noirs de l’image apparaissent et disparaissent. En déplaçant la racine 1 de $z^3-2z+2$ vers la gauche le long de l’axe réel à travers son bloc (l’exemple « À travers le bloc noir »), la période du cycle double, 2 → 4 → 8, vers −1.8045 et −1.832 (numériquement) — comme le long de l’axe réel de l’ensemble de Mandelbrot.

En 1879, Arthur Cayley s’est demandé quelle racine la méthode de Newton trouve depuis un point de départ complexe donné ; il a résolu le cas de deux racines et trouvé celui de trois difficile. Pierre Fatou et Gaston Julia ont construit la théorie de l’itération des applications rationnelles vers 1918–1920, bien avant les images informatiques. Les images des bassins de Newton et la structure rappelant l’ensemble de Mandelbrot dans leur espace des paramètres sont apparues au début des années 1980 ; les estimations de Steve Smale (1986) fournissent les disques certifiés utilisés ici.