Newton fraktalı

Newton yöntemi, $z_0$ başlangıç noktasından aynı adımı tekrarlayarak $p$ polinomunun bir kökünü arar:

Görüntünün her pikseli karmaşık düzlemde bir başlangıç noktasıdır. İlk girdiği diskin ait olduğu kökün rengini alır. Her disk için yakınsama kanıtlanmıştır: Smale'in γ teoremine göre Newton yöntemi, diskin içindeki herhangi bir başlangıç noktasından o köke yakınsar; dolayısıyla renk hiçbir zaman “en yakın kök hangisi” sorusuna dayanan bir tahmin değildir. Basit bir $\zeta$ kökü çevresindeki diskin yarıçapı $(3-\sqrt7)/(2\gamma)$ olup burada $\gamma = \max_{k\ge2}\bigl|p^{(k)}(\zeta)/(k!\,p'(\zeta))\bigr|^{1/(k-1)}$.

Tonlama, bir başlangıç noktasının bir diske ulaşmak için kaç adıma ihtiyaç duyduğunu gösterir; açık ve koyu tonların kullanımı seçilen görünüme göre değişir. İnce çizgiler, “k adım içinde bir diske ulaşan başlangıç noktaları” kümesinin kenarlarını işaretler; bunlar kırmızı düğmenin tek tek gösterdiği seviyelerdir. Siyah yalnızca bir başlangıç noktasının denenen adımlar içinde hiçbir diske girmediği anlamına gelir. Yumuşak tonlama, sınır boyunca parıltı ve Yaldız görünümündeki altın tel yalnızca görsel efektlerdir; bir pikselin hangi köke ve kaç adımda ulaştığı ise 32 bit hesaplamanın sayısal sonuçlarıdır.

Bir kökün tüm çekim havzası, kökten uzaktaki küçük parçalar da dâhil olmak üzere, sonunda o köke ulaşan tüm başlangıç noktalarından oluşur. Bu çekim havzalarının hepsinin sınırı aynıdır: $N$ dönüşümünün Julia kümesi. Dolayısıyla herhangi bir sınır noktasına istenildiği kadar yakın yerlerde, her köke giden başlangıç noktaları vardır. Renklerin her ölçekte birbirini izlemesinin ve “Bir kökün tüm çekim havzasını göster” seçeneğinin havzayı sınır boyunca her boncukta göstermesinin nedeni budur.

Bu sınırın yakınında Newton yönteminin birkaç adımı, komşu başlangıç noktalarını birbirinden çok uzaklaştırabilir. “Kıl payı uzaklık” örneğinde, $z^3-1$ için aralarında 0.02 uzaklık bulunan iki başlangıç noktası bir adım sonra 0.047, iki adım sonra 0.268 uzaklıktadır; 6. ve 7. adımlarda farklı köklerin disklerine girerler.

Yalnızca iki kök olduğunda görüntü basittir: sınır, iki kökün orta dikmesidir. $w = (z-1)/(z+1)$ koordinatında (kökler ±1 konumunda), Newton adımı $w \mapsto w^2$ hâline gelir. Üçüncü bir kökle sınır bir fraktala dönüşür.

$p(z) = z^3 - 2z + 2$ için 0 başlangıç noktası 1'e gider ve tekrar 0'a döner; bu sonsuza dek sürer. Bu döngünün çarpanı $N'(0)\,N'(1)$, 0'a eşittir; dolayısıyla döngüye yeterince yakın her başlangıç noktası da bu döngüye girer. Bu başlangıç noktaları siyah adaları oluşturur; hiçbir zaman bir köke ulaşmazlar.

Böyle döngüler nerede ortaya çıkabilir? $N' = p\,p''/p'^2$ her kökte sıfır olur; dolayısıyla her kök, $N$ dönüşümünün bir kritik noktasıdır ve kendi çekim havzasında bulunur. Diğer kritik noktalar, yani serbest kritik noktalar, $p''$ fonksiyonunun kök olmayan sıfırlarıdır; $p'$ de sıfır olduğunda, $N$ dönüşümünün orada çok katlı bir kutbu vardır; bu da yine bir kritik noktadır ve ∞ noktasına gönderilir. Fatou'nun bir teoremine göre her çekici döngü en az bir kritik noktayı çeker. Kök olmayan bir döngü bir kökü çekemez; kök kendi çekim havzasında kalır. Bu nedenle böyle bir döngü bir serbest kritik noktayı çekmek zorundadır. Dolayısıyla serbest kritik noktaları izlemek bu başarısızlıkları ortaya çıkarabilir. Liste sayısal yaklaşımlar kullanır; sıfırlar güvenilir biçimde birbirinden ayırt edilemiyorsa, çok katlı bir nokta veya bir kutup ilan etmek yerine onları çözümlenmemiş olarak bildirir. Tersi geçerli değildir: $z^3-1$ için serbest kritik nokta 0 aynı zamanda $p'$ fonksiyonunun bir sıfırıdır; $N$ dönüşümünün itici bir sabit noktası olan ∞ noktasına gönderilir ve siyah adalar yoktur.

Üç kök olduğunda $p''$ fonksiyonunun tek bir sıfırı vardır: köklerin ağırlık merkezi. Bu nokta, $z^3-z$ örneğindeki gibi kendisi bir kök değilse, tek serbest kritik noktadır. Küçük harita, diğer iki kök sabitken seçili kökün konumlarını gösterir: seçili kök bir noktaya yerleştirildiğinde, o nokta ağırlık merkezinin yörüngesinin girdiği kanıtlanmış diskin ait olduğu kökün rengini alır; 300 adım içinde hiçbir diske girmezse siyah olur. Bu üçüncü dereceden polinom ailesinde siyah bloklar, ilk kez Curry, Garnett ve Sullivan'ın (1983) bilgisayar deneylerinde görülen Mandelbrot kümesi yapısının küçük kopyalarını gösterir. Seçili kökü bu bloklardan birinin içinden sürükleyin; görüntüdeki siyah adalar ortaya çıkar ve kaybolur. $z^3-2z+2$ polinomunun kök 1'i gerçek eksen boyunca kendi bloğunun içinden sola taşındığında (“Siyah bloğun içinden” örneği), döngünün periyodu yaklaşık −1.8045 ve −1.832 konumlarında (sayısal olarak) iki katına çıkar: 2 → 4 → 8; tıpkı Mandelbrot kümesinin gerçek ekseninde olduğu gibi.

Arthur Cayley, 1879'da Newton yönteminin verilen bir karmaşık başlangıç noktasından hangi kökü bulduğunu sordu; iki kök durumunu çözdü, üç kök durumunu ise zor buldu. Pierre Fatou ve Gaston Julia, bilgisayar görüntülerinden çok önce, yaklaşık 1918–1920 yıllarında rasyonel dönüşümlerin yinelenmesi kuramını geliştirdi. Newton çekim havzalarının görüntüleri ve parametre uzaylarındaki Mandelbrot benzeri yapı 1980'lerin başında ortaya çıktı; Steve Smale'in kestirimleri (1986), burada kullanılan kanıtlanmış diskleri sağlar.