Metodo di Newton

Il metodo di Newton approssima una radice di f, un numero r con $f(r) = 0$, ripetendo un passo. Alla stima attuale $x_n$, prendi la tangente al grafico in $(x_n, f(x_n))$, data da $L(x) = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$. Vicino a $x_n$, la tangente resta vicina alla curva, quindi la sua intersezione con l’asse x stima meglio quella della curva. Risolvere $L(x) = 0$ dà la stima successiva. Nel grafico ogni passo segue la linea tratteggiata tenue da $x_n$ alla curva, poi la tangente fino all’asse.

Indichiamo l’errore con $e_n = x_n - r$. Se r è una radice semplice ($f'(r) \ne 0$) e f ha derivata seconda continua, lo sviluppo di Taylor del passo dà $e_{n+1} \approx \frac{f''(r)}{2f'(r)}\,e_n^2$ quando $x_n$ è vicino a r. Elevare l’errore al quadrato all’incirca raddoppia il numero di cifre corrette. Per x² − 2 da x₀ = 1 gli errori sono 0.086, 0.0025, 2.1 × 10⁻⁶ e 1.6 × 10⁻¹², e il valore visualizzato mostra $e_n/e_{n-1}^2$ stabilizzarsi vicino a $1/(2\sqrt2) \approx 0.354$. Lontano dalla radice non c’è questa garanzia. Dove $f''(r) = 0$, il termine quadratico scompare ed è ancora più rapido: per arctan x l’errore è circa $-\tfrac23 e_n^3$, elevato al cubo a ogni passo.

Il passo richiede $f'(x_n) \ne 0$. Una tangente orizzontale non incontra mai l’asse e una quasi orizzontale lo incontra lontano: per x² − 2 da 0.1, il primo passo arriva a 10.05. Il metodo può fallire anche senza allontanarsi. Per x³ − 2x + 2, la tangente in 0 arriva a 1, quella in 1 torna a 0, e i punti iniziali vicini a 0 sono attratti in questo ciclo: la successione resta limitata, ma non ha limite. Per arctan x esiste una frontiera α ≈ 1.3917, il numero che soddisfa $2\alpha = (1 + \alpha^2)\arctan\alpha$. I punti iniziali con |x₀| < α convergono; quelli oltre la frontiera arrivano ogni volta più lontano dall’altro lato. L’opzione «Tutti i punti iniziali» colora l’asse x in base alla destinazione di ciascun punto iniziale. Per x³ − 2x + 2, circa un quinto di [−3, 3] finisce nel ciclo, comprese fasce strette che si addensano verso i punti con tangente orizzontale $\pm\sqrt{2/3}$. Partendo da numeri complessi, quelle fasce diventano il frattale di Newton.

In una radice multipla vale anche $f'(r) = 0$, e si perde la convergenza quadratica. Per $(x - 1)^2$, il passo è esattamente $x_{n+1} = (x_n + 1)/2$, quindi l’errore si dimezza a ogni passo. È convergenza lineare: circa 3.3 passi per ogni nuova cifra decimale. Vicino a una radice di molteplicità m, il rapporto $e_{n+1}/e_n$ tende a $(m - 1)/m$.