طريقة نيوتن

تقرّب طريقة نيوتن جذرًا للدالة f، أي عددًا r يحقق $f(r) = 0$، بتكرار خطوة واحدة. عند التخمين الحالي $x_n$، ارسم المماس للمنحنى عند $(x_n, f(x_n))$، وهو $L(x) = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$. قرب $x_n$ يبقى المماس قريبًا من المنحنى، لذلك يكون تقاطعه مع محور x تخمينًا أفضل لموضع تقاطع المنحنى معه. بحل $L(x) = 0$ نحصل على التخمين التالي. في الرسم تنتقل كل خطوة على الخط المتقطع الخافت من $x_n$ إلى المنحنى، ثم على المماس إلى المحور.

لنرمز إلى الخطأ بـ$e_n = x_n - r$. إذا كان r جذرًا بسيطًا ($f'(r) \ne 0$) وكانت لـf مشتقة ثانية متصلة، فإن نشر خطوة نيوتن بتايلور يعطي $e_{n+1} \approx \frac{f''(r)}{2f'(r)}\,e_n^2$ عندما تصبح $x_n$ قريبة من r. تربيع الخطأ يضاعف تقريبًا عدد الأرقام الصحيحة. للدالة ⁦x² − 2⁩ من ⁦x₀ = 1⁩ تكون الأخطاء 0.086 و0.0025 و⁦2.1 × 10⁻⁶⁩ و⁦1.6 × 10⁻¹²⁩، وتُظهر القراءة $e_n/e_{n-1}^2$ تستقر قرب $1/(2\sqrt2) \approx 0.354$. بعيدًا عن الجذر لا يوجد هذا الضمان. وعندما $f''(r) = 0$ يختفي الحد التربيعي ويصبح التقارب أسرع: للدالة ⁦arctan x⁩ يكون الخطأ نحو $-\tfrac23 e_n^3$، أي يتكعّب في كل خطوة.

تحتاج الخطوة إلى $f'(x_n) \ne 0$. المماس الأفقي لا يلتقي المحور، والذي يكاد يكون أفقيًا يلتقيه بعيدًا: للدالة ⁦x² − 2⁩ من 0.1 تصل الخطوة الأولى إلى 10.05. وقد تفشل الطريقة من دون أن تبتعد. للدالة ⁦x³ − 2x + 2⁩ يصل المماس عند 0 إلى 1، ويعود المماس عند 1 إلى 0، وتنجذب البدايات القريبة من 0 إلى هذه الدورة: تبقى المتتالية محدودة، لكنها لا تتقارب إلى قيمة. للدالة ⁦arctan x⁩ يوجد حد ⁦α ≈ 1.3917⁩، وهو العدد الذي يحقق $2\alpha = (1 + \alpha^2)\arctan\alpha$. البدايات التي تحقق ⁦|x₀| < α⁩ تتقارب، وما يتجاوز الحد يصل كل مرة إلى نقطة أبعد في الجهة الأخرى. يلوّن خيار «كل بداية» محور x بحسب مآل كل بداية. للدالة ⁦x³ − 2x + 2⁩ ينتهي نحو خُمس ⁦[−3, 3]⁩ في الدورة، بما في ذلك أشرطة ضيقة تتزاحم قرب النقطتين ذواتي المماس الأفقي $\pm\sqrt{2/3}$. البدء من أعداد عقدية يحوّل هذه الأشرطة إلى كسيرية نيوتن.

عند جذر متعدد يتحقق $f'(r) = 0$ أيضًا، وتضيع خاصية التربيع. في $(x - 1)^2$ تكون الخطوة بالضبط $x_{n+1} = (x_n + 1)/2$، لذلك ينخفض الخطأ إلى النصف كل خطوة. هذا تقارب خطي، بنحو 3.3 خطوات لكل منزلة عشرية جديدة. قرب جذر من التعدد m، تؤول النسبة $e_{n+1}/e_n$ إلى $(m - 1)/m$.