Método de Newton

El método de Newton aproxima una raíz de f, un número r con $f(r) = 0$, repitiendo un paso. Desde la estimación actual $x_n$, toma la tangente a la gráfica en $(x_n, f(x_n))$, que es $L(x) = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$. Cerca de $x_n$, la tangente sigue de cerca la curva, así que su cruce con el eje x es una mejor estimación de dónde cruza la curva. Al resolver $L(x) = 0$ se obtiene la siguiente estimación. En el gráfico, cada paso recorre la línea discontinua tenue desde $x_n$ hasta la curva, y después sigue la tangente hasta el eje.

Escribe $e_n = x_n - r$ para el error. Si r es una raíz simple ($f'(r) \ne 0$) y f tiene segunda derivada continua, un desarrollo de Taylor del paso da $e_{n+1} \approx \frac{f''(r)}{2f'(r)}\,e_n^2$ cuando $x_n$ está cerca de r. Elevar el error al cuadrado casi duplica los dígitos correctos. Para x² − 2 desde x₀ = 1, los errores son 0.086, 0.0025, 2.1 × 10⁻⁶ y 1.6 × 10⁻¹², y el indicador muestra cómo $e_n/e_{n-1}^2$ se acerca a $1/(2\sqrt2) \approx 0.354$. Lejos de la raíz no hay esa garantía. Donde $f''(r) = 0$, desaparece el término cuadrático y es aún más rápido: para arctan x, el error es aproximadamente $-\tfrac23 e_n^3$, elevado al cubo en cada paso.

El paso requiere $f'(x_n) \ne 0$. Una tangente horizontal nunca corta el eje; una casi horizontal lo corta lejos: para x² − 2 desde 0.1, el primer paso llega a 10.05. El método también puede fallar sin alejarse. Para x³ − 2x + 2, la tangente en 0 llega a 1, la de 1 vuelve a 0 y los inicios cercanos a 0 son atraídos a ese ciclo: la sucesión permanece acotada, pero no tiene límite. Para arctan x hay una frontera α ≈ 1.3917, el número que cumple $2\alpha = (1 + \alpha^2)\arctan\alpha$. Los inicios con |x₀| < α convergen; los que la superan llegan cada vez más lejos por el otro lado. El control «Todos los inicios» colorea el eje x según el destino de cada inicio. Para x³ − 2x + 2, cerca de una quinta parte de [−3, 3] acaba en el ciclo, incluidas bandas estrechas que se acumulan hacia los puntos de tangente horizontal $\pm\sqrt{2/3}$. Si se empieza con números complejos, esas bandas se convierten en el fractal de Newton.

En una raíz múltiple también se cumple $f'(r) = 0$ y se pierde la convergencia cuadrática. Para $(x - 1)^2$, el paso es exactamente $x_{n+1} = (x_n + 1)/2$, así que el error se reduce a la mitad en cada paso. Es convergencia lineal: unos 3.3 pasos por cada nueva cifra decimal. Cerca de una raíz de multiplicidad m, el cociente $e_{n+1}/e_n$ tiende a $(m - 1)/m$.