Méthode de Newton

La méthode de Newton approche une racine de f, un nombre r tel que $f(r) = 0$, en répétant une étape. À l’estimation actuelle $x_n$, prenez la tangente à la courbe en $(x_n, f(x_n))$, donnée par $L(x) = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$. Près de $x_n$, la tangente reste proche de la courbe : son intersection avec l’axe x estime donc mieux celle de la courbe. Résoudre $L(x) = 0$ donne l’estimation suivante. Sur le graphique, chaque étape suit le trait discontinu pâle de $x_n$ jusqu’à la courbe, puis la tangente jusqu’à l’axe.

Notons $e_n = x_n - r$ l’erreur. Si r est une racine simple ($f'(r) \ne 0$) et si f possède une dérivée seconde continue, le développement de Taylor de l’étape donne $e_{n+1} \approx \frac{f''(r)}{2f'(r)}\,e_n^2$ dès que $x_n$ est proche de r. Mettre l’erreur au carré double à peu près le nombre de chiffres corrects. Pour x² − 2 à partir de x₀ = 1, les erreurs sont 0.086, 0.0025, 2.1 × 10⁻⁶ et 1.6 × 10⁻¹², et l’affichage montre $e_n/e_{n-1}^2$ se stabiliser près de $1/(2\sqrt2) \approx 0.354$. Loin de la racine, rien ne le garantit. Quand $f''(r) = 0$, le terme quadratique disparaît et c’est encore plus rapide : pour arctan x, l’erreur vaut environ $-\tfrac23 e_n^3$, élevée au cube à chaque étape.

L’étape nécessite $f'(x_n) \ne 0$. Une tangente horizontale ne rencontre jamais l’axe, et une tangente presque horizontale le rencontre loin : pour x² − 2 à partir de 0.1, la première étape aboutit à 10.05. La méthode peut aussi échouer sans s’éloigner. Pour x³ − 2x + 2, la tangente en 0 aboutit à 1, celle en 1 revient à 0, et les départs proches de 0 sont attirés vers cette boucle : la suite reste bornée, mais n’a pas de limite. Pour arctan x, il existe une frontière α ≈ 1.3917, le nombre vérifiant $2\alpha = (1 + \alpha^2)\arctan\alpha$. Les départs avec |x₀| < α convergent ; ceux au-delà aboutissent toujours plus loin de l’autre côté. L’option « Tous les départs » colore l’axe x selon le devenir de chaque départ. Pour x³ − 2x + 2, environ un cinquième de [−3, 3] finit dans la boucle, notamment des bandes étroites qui s’accumulent vers les points à tangente horizontale $\pm\sqrt{2/3}$. En partant de nombres complexes, ces bandes deviennent la fractale de Newton.

À une racine multiple, on a aussi $f'(r) = 0$, et l’effet du carré disparaît. Pour $(x - 1)^2$, l’étape vaut exactement $x_{n+1} = (x_n + 1)/2$ : l’erreur est donc divisée par deux à chaque étape. C’est une convergence linéaire, environ 3.3 étapes par nouvelle décimale. Près d’une racine de multiplicité m, le rapport $e_{n+1}/e_n$ tend vers $(m - 1)/m$.