Concavidad y puntos de inflexión

Una curva es cóncava hacia arriba (∪) en un intervalo donde su pendiente $f'$ es estrictamente creciente, y cóncava hacia abajo (∩) donde es estrictamente decreciente. Para f derivable, la concavidad hacia arriba también significa que la tangente gira en sentido antihorario al aumentar x y que la curva queda por encima de toda tangente y por debajo de toda cuerda del intervalo, salvo en los puntos de encuentro. La concavidad hacia abajo invierte las tres propiedades. Muchos libros parten de la definición mediante cuerdas, para f continua en el intervalo y dos puntos cualesquiera $x_1 \ne x_2$ de él:

La gráfica superior muestra f, la tangente en P y tangentes cortas distribuidas por la curva. La zona amarilla clara entre la curva y la tangente en P muestra su separación. La gráfica inferior dibuja f″, y la franja intermedia marca cada intervalo con ∪ o ∩.

Si $f'' > 0$ en un intervalo, entonces $f'$ es estrictamente creciente y la curva es cóncava hacia arriba. $f'' < 0$ la hace cóncava hacia abajo. La condición es suficiente, pero no necesaria: $x^4$ es cóncava hacia arriba en toda la recta aunque $f''(0) = 0$. Por eso la franja describe un intervalo, no el signo de f″ en cada punto.

¿Por qué gira la tangente? Su ángulo φ con el eje x satisface $\tan\varphi = f'$, así que

Esta expresión tiene el signo de f″: con f″ > 0, la tangente gira en sentido antihorario. Su magnitud no depende solo de f″, pues en una curva muy inclinada el mismo f″ hace girar la tangente lentamente. El arco amarillo en P indica el sentido y la rapidez del giro en ese instante, no el ángulo que girará más adelante. La curva queda por encima de su tangente $T_a$ en a porque $f(x) - T_a(x) = \int_a^x \big(f'(t) - f'(a)\big)\,dt$. Mientras la pendiente aumenta, el integrando tiene el signo de t − a, de modo que la integral es positiva a ambos lados de a.

Un punto donde f es continua y la concavidad es opuesta a sus dos lados es un punto de inflexión (◇). Si allí existe tangente, la curva la atraviesa: en $x^3 - 3x$, la tangente en 0 es y = −3x y $f(x) - (-3x) = x^3$ cambia de signo en 0. Si f″ existe en un punto de inflexión, vale 0, pero $f''(c) = 0$ no basta como criterio. La función $x^4$ tiene f″(0) = 0 sin inflexión, mientras que $\sqrt[3]{x}$ no tiene f′ ni f″ en 0 y aun así pasa de ∪ a ∩ allí.

Una tangente horizontal con la curva por encima a ambos lados forma un valle. Si $f'(c) = 0$ y $f''(c) > 0$, f tiene un mínimo local en c; si, manteniendo nula la primera derivada, $f''(c) < 0$, un máximo local.

Solo se garantiza que la curva permanezca a un lado de una tangente dentro del intervalo de concavidad al que esta pertenece. En $x^3 - 3x$, la tangente horizontal en x = 1 vuelve a encontrarse con la curva en x = −2, y a la izquierda de ese punto la curva queda por debajo. La tangente se dibuja con trazo continuo en el intervalo cóncavo hacia arriba x ≥ 0 y con puntos fuera de él.

Los libros dan distintos nombres a estas formas. En inglés, ∪ se llama convex o concave up, y ∩, concave o concave down. Los libros chinos usan 凹 y 凸 en ambos sentidos. La página identifica las formas con ∪ y ∩, que no cambian con el nombre.