볼록성과 변곡점

기울기 $f'$의 값이 엄격히 증가하는 구간에서 곡선은 아래로 볼록(∪)하고, 엄격히 감소하는 구간에서는 위로 볼록(∩)합니다. f가 미분 가능하면 아래로 볼록하다는 것은 x가 증가할 때 접선이 반시계 방향으로 돌며, 서로 만나는 점을 제외하고 구간 안에서 곡선이 모든 접선 위와 모든 현 아래에 놓인다는 뜻이기도 합니다. 위로 볼록하면 세 가지가 모두 반대입니다. 많은 교과서는 현을 이용한 형태에서 정의를 시작합니다. 구간에서 연속인 f와 그 안의 임의의 두 점 $x_1 \ne x_2$에 대해:

위 그래프는 f, P에서의 접선, 곡선을 따라 놓인 짧은 접선을 보여 줍니다. 곡선과 P의 접선 사이 연노랑 영역은 곡선이 접선에서 얼마나 떨어져 있는지 나타냅니다. 아래 그래프는 f″을 그리며 두 그래프 사이 띠는 각 구간에 ∪ 또는 ∩를 표시합니다.

한 구간에서 $f'' > 0$이면 $f'$이 엄격히 증가하고 곡선은 그곳에서 아래로 볼록합니다. $f'' < 0$이면 위로 볼록합니다. 이는 충분조건이지 필요조건은 아닙니다. $x^4$의 경우 $f''(0) = 0$이지만 실수 전체에서 아래로 볼록합니다. 따라서 띠는 각 점에서의 f″ 부호가 아니라 구간의 성질을 나타냅니다.

접선은 왜 돌까요? x축과 이루는 각 φ에 대해 $\tan\varphi = f'$이므로,

이 값은 f″과 부호가 같으므로 f″ > 0이면 접선이 반시계 방향으로 돕니다. 크기는 f″만으로 정해지지 않습니다. 곡선이 가파른 곳에서는 같은 f″이라도 접선이 천천히 돌기 때문입니다. P의 노란 호는 이 순간 접선이 어느 쪽으로 얼마나 빠르게 도는지 보여 주며, 더 진행했을 때 돌아갈 각도를 뜻하지 않습니다. 곡선이 a에서의 접선 $T_a$ 위에 있는 이유는 $f(x) - T_a(x) = \int_a^x \big(f'(t) - f'(a)\big)\,dt$이기 때문입니다. 기울기가 증가하는 동안 피적분함수의 부호는 t − a와 같으므로 적분값은 a의 양쪽에서 모두 양수입니다.

f가 연속이고 양쪽에서 볼록한 방향이 반대인 점을 변곡점(◇)이라 합니다. 그 점에 접선이 있으면 곡선은 접선을 가로지릅니다. $x^3 - 3x$에서 0의 접선은 y = −3x이고, $f(x) - (-3x) = x^3$의 부호는 0에서 바뀝니다. 변곡점에서 f″이 존재하면 그 값은 0이지만 $f''(c) = 0$만으로는 판정할 수 없습니다. 함수 $x^4$에서는 f″(0) = 0이지만 변곡점이 없습니다. 반면 $\sqrt[3]{x}$의 경우 0에서 f′과 f″이 모두 없지만 그곳에서 ∪에서 ∩로 바뀝니다.

수평 접선의 양쪽에서 곡선이 접선 위에 있으면 골짜기입니다. $f'(c) = 0$이고 $f''(c) > 0$이면 f는 c에서 극솟값을 가지며, $f''(c) < 0$이면 극댓값을 가집니다.

곡선이 접선의 한쪽에 머무른다고 보장할 수 있는 곳은 접점이 속한 볼록성 구간 안뿐입니다. $x^3 - 3x$에서는 x = 1의 수평 접선이 x = −2에서 곡선과 다시 만나며 그 점의 왼쪽에서는 곡선이 접선 아래에 있습니다. 접선은 아래로 볼록한 구간 x ≥ 0에서 실선, 그 밖에서는 점선입니다.

책마다 모양을 부르는 이름이 다릅니다. 영어에서는 ∪를 convex 또는 concave up, ∩를 concave 또는 concave down이라 합니다. 중국어 교과서는 凹와 凸를 서로 반대 뜻으로 쓰기도 합니다. 이 페이지는 이름과 관계없이 같은 모양을 뜻하는 ∪와 ∩로 표시합니다.