Concavité et points d’inflexion

Une courbe est convexe (∪) sur un intervalle où sa pente $f'$ est strictement croissante, et concave (∩) lorsqu’elle est strictement décroissante. Pour une fonction f dérivable, la convexité signifie aussi que la tangente tourne dans le sens antihoraire quand x augmente, et que la courbe reste au-dessus de toute tangente et au-dessous de toute corde de l’intervalle, sauf aux points de rencontre. La concavité inverse ces trois propriétés. Beaucoup de manuels partent de la définition par les cordes, pour f continue sur l’intervalle et deux points quelconques $x_1 \ne x_2$ de celui-ci :

Le graphique supérieur montre f, la tangente en P et des tangentes courtes réparties sur la courbe. La zone jaune pâle entre la courbe et la tangente en P montre leur écart. Le graphique inférieur représente f″, et la bande entre les deux marque chaque intervalle par ∪ ou ∩.

Si $f'' > 0$ sur un intervalle, alors $f'$ est strictement croissante et la courbe y est convexe. $f'' < 0$ la rend concave. La condition est suffisante, mais pas nécessaire : $x^4$ est convexe sur toute la droite alors que $f''(0) = 0$. La bande décrit donc un intervalle, et non le signe de f″ en chaque point.

Pourquoi la tangente tourne-t-elle ? Son angle φ avec l’axe des x vérifie $\tan\varphi = f'$, donc

Cette expression a le signe de f″ : si f″ > 0, la tangente tourne dans le sens antihoraire. Sa valeur ne dépend pas seulement de f″ : sur une portion pentue, le même f″ fait tourner la tangente plus lentement. L’arc jaune en P indique le sens et la vitesse de rotation à cet instant, et non l’angle parcouru plus loin. La courbe reste au-dessus de sa tangente $T_a$ en a car $f(x) - T_a(x) = \int_a^x \big(f'(t) - f'(a)\big)\,dt$. Quand la pente augmente, l’intégrande a le signe de t − a, donc l’intégrale est positive de part et d’autre de a.

Un point où f est continue et où la concavité change est un point d’inflexion (◇). Si la courbe y admet une tangente, elle la traverse : pour $x^3 - 3x$, la tangente en 0 est y = −3x, et $f(x) - (-3x) = x^3$ change de signe en 0. Si f″ existe à un point d’inflexion, elle y vaut 0, mais $f''(c) = 0$ ne suffit pas à conclure. La fonction $x^4$ vérifie f″(0) = 0 sans inflexion, tandis que $\sqrt[3]{x}$ n’a ni f′ ni f″ en 0, mais y passe de ∪ à ∩.

Une tangente horizontale avec la courbe au-dessus des deux côtés marque un creux. Si $f'(c) = 0$ et $f''(c) > 0$, f admet un minimum local en c ; si, toujours avec une dérivée première nulle, $f''(c) < 0$, un maximum local.

La courbe ne reste assurément du même côté d’une tangente que dans l’intervalle de concavité de celle-ci. Pour $x^3 - 3x$, la tangente horizontale en x = 1 rencontre à nouveau la courbe en x = −2 ; à gauche de ce point, la courbe passe au-dessous. La tangente est en trait plein dans l’intervalle convexe x ≥ 0, et en pointillés en dehors.

Les noms varient selon les livres. En anglais, ∪ se dit convex ou concave up, et ∩ concave ou concave down. Les manuels chinois emploient 凹 et 凸 dans les deux sens. La page utilise les formes ∪ et ∩, qui ne dépendent pas du nom choisi.