凹凸性与拐点

在斜率$f'$严格递增的区间上，曲线是凹的（∪）；在斜率严格递减的区间上，曲线是凸的（∩）。对可导的f，凹也意味着：x增加时切线逆时针转，曲线在区间内每条切线的上方、每条弦的下方，相碰的点除外。凸的情形三样都反过来。弦的说法正是很多教材的定义：f在区间上连续，对区间内任意两点$x_1 \ne x_2$，

上面的图画出f、P处的切线和沿曲线排开的短切线。曲线和P处切线之间的淡黄色空隙，表示曲线离切线有多远。下面的图画的是f″，两图之间的一行给每个区间标上∪或∩。

如果区间上$f'' > 0$，$f'$就严格递增，曲线在这里是凹的；$f'' < 0$则是凸的。这是充分条件而不是必要条件：$x^4$在整条直线上都是凹的，可$f''(0) = 0$。所以那一行标的是整个区间，不是每一点f″的符号。

切线为什么会转？它和x轴的夹角φ满足$\tan\varphi = f'$，所以

它的符号就是f″的符号，所以f″ > 0时切线逆时针转。它的大小却不只由f″决定：曲线陡的地方，同样的f″让切线转得慢。P处的黄色弧示意此刻切线往哪边转、转得多快，不代表随后实际转过的角度。曲线之所以在a处的切线$T_a$上方，是因为$f(x) - T_a(x) = \int_a^x \big(f'(t) - f'(a)\big)\,dt$。斜率递增时，被积函数与t − a同号，所以积分在a的两侧都是正的。

f在某点连续、两侧凹凸相反，这一点就是拐点（◇）。曲线在拐点处有切线时，会穿过这条切线：$x^3 - 3x$在0处的切线是y = −3x，$f(x) - (-3x) = x^3$在0处变号。若拐点处f″存在，它等于0；但$f''(c) = 0$不能当判别法。$x^4$的f″(0) = 0，却没有拐点；$\sqrt[3]{x}$在0处没有f′和f″，却在那里由∪变成∩。

切线水平、曲线在它两侧都更高，就是谷底。若$f'(c) = 0$且$f''(c) > 0$，f在c处取极小值；$f''(c) < 0$时取极大值。

曲线一定在切线同一侧，只限于切线所在的那个区间。$x^3 - 3x$在x = 1处的水平切线，与曲线再次相交于x = −2，在这一点左边，曲线在切线下方。这条切线在凹区间x ≥ 0内画实线，在区间外画点线。

不同教材的叫法不同。本页中文按同济《高等数学》的叫法：∪叫凹，∩叫凸。英文把∪叫convex或concave up，把∩叫concave或concave down；一些数学分析教材把∪形的函数叫凸函数（或下凸函数），正好和这里相反。形状不随叫法改变，所以本页的标签写∪和∩。