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Analyse · Fonction dérivée

Fonction dérivée

La fonction dérivée f′ donne, en chaque x, la pente de la tangente à la courbe de f, partout où cette pente existe. Sa courbe est placée sous celle de f : sur un intervalle où f′ est positive, f croît ; où elle est négative, f décroît ; à un maximum ou un minimum où f est dérivable, f′ vaut 0.

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La fonction dérivée dans cette visualisation

La fonction dérivée de ff, notée f′(x)f'(x) (ou encore y′y' ou dydx\frac{dy}{dx}), associe à chaque xx la dérivée de ff en ce point : la pente de la tangente à la courbe en xx. Là où cette pente n’existe pas, f′f' n’a pas de valeur. Cette page trace ff et f′f' l’une au-dessus de l’autre, avec la même échelle en xx, pour huit fonctions.

Fonction dérivée
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

On note aussi f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} la dérivée en un point x0x_0 ; faire varier x0x_0 donne la fonction dérivée, et le aa de cette page est x0x_0. Le point bleu P se trouve sur ff en x=ax = a, avec sa tangente. Le petit triangle sous la tangente a une base horizontale de 1 : son élévation est donc la pente de la tangente. Le même nombre signé est représenté, à l’échelle propre du graphique inférieur, par la barre jaune qui aboutit au point (a,f′(a))(a, f'(a)). Quand aa se déplace, ce point parcourt la courbe de f′ ; Tracer la dessine de gauche à droite.

Les deux lignes entre les graphiques forment un tableau de signes et de variations : la ligne supérieure indique si ff croît (↗) ou décroît (↘), la ligne inférieure donne le signe de f′f' (+ ou −, avec 0 là où f′=0f' = 0 et « N’existe pas » là où f′f' n’existe pas).

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À observer

  • Sur un intervalle où f′>0f' > 0, ff croît ; où f′<0f' < 0, elle décroît. La réciproque est plus faible : x3x^3 croît partout, mais f′(0)=0f'(0) = 0. Un maximum ou un minimum intérieur à l’intervalle où ff est dérivable vérifie f′=0f' = 0 ; mais f′=0f' = 0 ne suffit pas à en donner un (encore x3x^3 en 0), et un extremum peut se trouver là où f′f' n’existe pas, comme au point anguleux de ∣x∣|x|.
  • Là où ff change de courbure (un point d’inflexion) et où f′′f'' change de signe, f′f' admet un maximum ou un minimum local. Pour sin⁡x\sin x, les points d’inflexion se trouvent au-dessus des maxima et des minima de cos⁡x\cos x, là où sin⁡x\sin x a sa plus forte pente. Ce n’est pas vrai de tous les points d’inflexion : x3\sqrt[3]{x} en a un en 0, où sa tangente est verticale et f′f' n’a pas de valeur.
  • Le graphique inférieur montre des pentes, pas des valeurs de ff : sa hauteur en xx indique la rapidité de variation de ff en ce point. Les deux graphiques ont chacun leur échelle verticale, choisie pour les faire tenir.
  • Au point anguleux de ∣x∣|x|, f′f' passe brusquement de −1-1 à 11 et f′(0)f'(0) n’existe pas. Au point de rebroussement de x2/3x^{2/3}, f′f' tend vers −∞-\infty à gauche et vers +∞+\infty à droite ; à la tangente verticale de x3\sqrt[3]{x}, vers +∞+\infty des deux côtés. Chacune de ces fonctions est continue en 0, mais n’y est pas dérivable.
  • exe^x est sa propre dérivée : le graphique inférieur reproduit celui du haut.
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Commandes

  • Faites glisser P, le point sur f′f', ou un endroit quelconque de l’un des graphiques pour déplacer aa ; ou tournez la roue sous Point et appuyez sur les points remarquables. Tracer déplace P de l’extrémité gauche à l’extrémité droite et dessine f′f' derrière lui, en marquant un bref arrêt à chaque maximum, minimum, point d’inflexion et point sans f′f', tandis que son nom s’allume dans le tableau ; P reste à droite. Extrema et inflexions trace des guides en pointillés passant par les maxima, minima et points d’inflexion de ff, jusque dans le graphique de f′f', et les nomme dans le tableau.
  • Le Mode présentation ouvre une vue en plein écran pour la projection (Espace trace, ← → déplacent aa, H masque la courbe de f′f' ; elle n’apparaît alors que là où P est passé).
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Voir aussi

Pour aller plus loin: Wikipédia: Derivative (Anglais); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.2 The Derivative as a Function (Anglais).