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Analyse · Théorème des accroissements finis

Théorème des accroissements finis

Si une fonction f est continue sur [a, b] et dérivable sur (a, b), alors en un point c entre a et b, sa tangente est parallèle à la sécante passant par les extrémités : f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).

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Le théorème des accroissements finis dans cette visualisation

Le théorème des accroissements finis, aussi appelé théorème de Lagrange, affirme que si une fonction ff est continue sur l’intervalle fermé [a,b][a, b] et dérivable sur l’intervalle ouvert (a,b)(a, b), il existe au moins un point cc tel que a<c<ba < c < b où

Théorème des accroissements finis
f′(c)=f(b)−f(a)b−a.f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Le membre de gauche est la pente de la tangente en cc ; celui de droite est la pente de la sécante passant par (a,f(a))(a, f(a)) et (b,f(b))(b, f(b)), le taux de variation moyen de ff sur l’intervalle. Le point se note aussi ξ\xi. Le théorème de Rolle est le cas f(a)=f(b)f(a) = f(b), où la sécante est horizontale et f′(c)=0f'(c) = 0. La page montre le théorème sur quatre fonctions régulières et sur deux dont les hypothèses peuvent échouer : ∣x∣|x| n’est pas dérivable en son point anguleux, et la fonction à saut, sur un intervalle contenant le saut, n’y est ni continue ni dérivable.

Les points bleus A et B sont sur la courbe au-dessus de aa et bb : déplacez-les, ou faites glisser le segment bleu de l’axe des x pour déplacer tout l’intervalle. La droite jaune qui les relie est la sécante ; notons sa pente mm. Chaque point bleu marque un point cc : sa tangente est parallèle à la sécante, et une verticale en pointillés le relie à celle-ci. Là où ff est régulière, la hauteur de la courbe au-dessus de la sécante a une dérivée nulle en chaque cc (les deux y ont la même pente). Sous le graphique, la bande des pentes trace f′(x)f'(x) en bleu et la pente de la sécante mm comme droite horizontale jaune : chaque cc est une intersection. Lorsque les réponses sont masquées, un point de tangence apparaît ; vous pouvez le déplacer sur la courbe pour trouver cc vous-même.

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Ce qu’il ne faut pas en déduire

  • Le théorème garantit au moins un cc, pas exactement un : x3−3xx^3 - 3x sur [−2,2][-2, 2] en a deux, sin⁡x\sin x sur [−6,6][-6, 6] en a quatre. Il ne dit pas où se trouve cc : pour une fonction du second degré non dégénérée, l’unique cc est toujours le milieu, mais pour d’autres fonctions, il peut être n’importe où à l’intérieur.
  • La dérivabilité n’est exigée qu’à l’intérieur de l’intervalle. x\sqrt{x} sur [0,4][0, 4] a une tangente verticale en 0, et pourtant c=1c = 1 convient.
  • Lorsqu’une hypothèse échoue, le théorème ne conclut rien. ∣x∣|x| sur [−1,2][-1, 2] n’a pas de cc, ni la fonction à saut sur [0.5,1.5][0.5, 1.5] ; pourtant, cette même fonction sur [0,2][0, 2] possède effectivement c=1.5c = 1.5.
  • Les points cc de cette page sont résolus exactement à partir de f′(c)=f'(c) = pente de la sécante pour chaque fonction, pas trouvés par recherche numérique.
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Applications

  • Vitesse moyenne : une voiture parcourt 10 km en 5 minutes, soit 120 km/h en moyenne. Si la distance parcourue varie continûment et possède une dérivée, la vitesse, à chaque instant à l’intérieur de ces 5 minutes, alors sa vitesse a été exactement de 120 km/h à un instant. Un conducteur dont la moyenne sur un tronçon chronométré dépasse la limite l’a donc dépassée à un moment.
  • Si f′=0f' = 0 partout sur un intervalle, ff y est constante ; deux fonctions de même dérivée diffèrent d’une constante, d’où le + C+\,C d’une primitive.
  • Estimations : si ∣f′∣≤M|f'| \le M sur l’intervalle, alors ∣f(b)−f(a)∣≤M ∣b−a∣|f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|. Le théorème intervient aussi dans la preuve du théorème fondamental de l’analyse.
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Voir aussi

Pour aller plus loin: Wikipédia: Mean value theorem (Anglais); OpenStax, Calculus Volume 1, 4.4 The Mean Value Theorem (Anglais).