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Cálculo · Teorema del valor medio

Teorema del valor medio

Si una función f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe algún punto c entre a y b cuya tangente es paralela a la secante por los extremos: f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).

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El teorema del valor medio en esta visualización

El teorema del valor medio, también llamado teorema del valor medio de Lagrange, afirma: si una función ff es continua en el intervalo cerrado [a,b][a, b] y derivable en el intervalo abierto (a,b)(a, b), existe al menos un punto cc con a<c<ba < c < b donde

Teorema del valor medio
f′(c)=f(b)−f(a)b−a.f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

El lado izquierdo es la pendiente de la tangente en cc; el derecho es la pendiente de la secante por (a,f(a))(a, f(a)) y (b,f(b))(b, f(b)), la tasa de variación media de ff en el intervalo. El punto también se escribe ξ\xi. El teorema de Rolle es el caso f(a)=f(b)f(a) = f(b), donde la secante es horizontal y f′(c)=0f'(c) = 0. La página muestra el teorema en cuatro funciones suaves y en dos cuyas hipótesis pueden fallar: ∣x∣|x| no es derivable en su punto anguloso, y la función con salto, en un intervalo que lo contiene en su interior, no es continua ni derivable allí.

Los puntos azules A y B están en la curva sobre aa y bb: arrástralos o desliza el segmento azul del eje x para mover todo el intervalo. La recta amarilla que los une es la secante; llamamos mm a su pendiente. Cada punto azul marca un punto cc: su tangente es paralela a la secante y una vertical discontinua lo une a ella; donde ff es suave, la altura de la curva sobre la secante tiene derivada cero en cada cc (ambas tienen allí la misma pendiente). Debajo de la gráfica, la franja de pendientes dibuja f′(x)f'(x) en azul y la pendiente de la secante mm como una recta horizontal amarilla: cada cc es un cruce. Al ocultar las respuestas, aparece un punto de tangencia que puedes mover por la curva para encontrar cc por tu cuenta.

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Qué no afirma el teorema

  • El teorema garantiza al menos un cc, no exactamente uno: x3−3xx^3 - 3x en [−2,2][-2, 2] tiene dos, sin⁡x\sin x en [−6,6][-6, 6] tiene cuatro. No indica dónde está cc: para una cuadrática no degenerada, el único cc siempre es el punto medio, pero para otras funciones puede estar en cualquier lugar del interior.
  • La derivabilidad solo se exige en el interior del intervalo. x\sqrt{x} en [0,4][0, 4] tiene una tangente vertical en 0 y, aun así, c=1c = 1 sirve.
  • Cuando falla una hipótesis, el teorema no dice nada. ∣x∣|x| en [−1,2][-1, 2] no tiene cc, ni la función con salto en [0.5,1.5][0.5, 1.5]; sin embargo, esa misma función en [0,2][0, 2] sí tiene c=1.5c = 1.5.
  • Los puntos cc de esta página se obtienen resolviendo exactamente f′(c)=f'(c) = pendiente de la secante para cada función, no mediante búsqueda numérica.
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Dónde se utiliza

  • Rapidez media: un coche recorre 10 km en 5 minutos, una media de 120 km/h. Si la distancia recorrida cambia continuamente y tiene derivada, la rapidez, en cada instante interior de esos 5 minutos, entonces en algún instante su rapidez fue exactamente 120 km/h. Por tanto, un conductor cuya media en un tramo cronometrado por cámaras supera el límite lo superó en algún momento.
  • Si f′=0f' = 0 en todo un intervalo, ff es constante allí; dos funciones con la misma derivada difieren en una constante, por eso una primitiva lleva + C+\,C.
  • Estimaciones: si ∣f′∣≤M|f'| \le M en el intervalo, entonces ∣f(b)−f(a)∣≤M ∣b−a∣|f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|. El teorema también es un paso en la demostración del teorema fundamental del cálculo.
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Conceptos relacionados

Para saber más: Wikipedia: Mean value theorem (Inglés); OpenStax, Calculus Volume 1, 4.4 The Mean Value Theorem (Inglés).